Порівняння двох середніх нормальних генеральних сукупностей, дисперсії яких невідомі й однакові (малі незалежні вибірки).

Маємо обсяги двох малих незалежних виборок (n < 30, m < 30), за якими знайдені відповідні вибіркові середні і , а також виправлені вибіркові дисперсії і . Генеральні дисперсії хоча й невідомі, проте припускаються однаковими.

Правило 1. Для того, щоб при заданому рівні значущості , перевірити нульову гіпотезу H₀: M (X) = M (Y) про рівність математичних сподівань (генеральних середніх) двох нормальних генеральних сукупностей з невідомими, але однаковими дисперсіями, при конкуруючій гіпотезі H₁: M (X)  M (Y) , потрібно обчислити спостерігаєме значення критерію Стьюдента

і за таблицею критичних точок розподілу Стьюдента, по заданому рівню значущості  і числу ступенів вільності k = n + m – 2 знайти критичну точку t_{двохст.кр.} (, k). Якщо < t_{двохст.кр.} (, k) – немає підстави відкинути нульову гіпотезу H₀. Якщо > t_{двохст.кр.} (, k) – нульову гіпотезу відкидають.

Правило 2. При конкуруючій гіпотезі H₁: M (X) > M (Y) знаходять критичну точку t_{правост.кр.} (, k) за таблицею критичних точок розподілу Стьюдента, по заданому рівню значущості  і числу ступенів вільності k = n + m – 2. Якщо Т_табл < t_{правост.кр.} (, k) – немає підстави відкинути нульову гіпотезу H₀. Якщо Т_табл > t_{правост.кр.} (, k) – нульову гіпотезу відкидають.

Правило 3. При конкуруючій гіпотезі H₁: M (X) < M (Y) знаходять спочатку критичну точку t_{правост.кр.} (, k) за правилом 2 і покладають t_{лівост.кр.} (, k) = – t_{правост.кр.} (, k). Якщо Т_сп > – t_{правост.кр.} (, k) – немає підстави відкинути нульову гіпотезу H₀. Якщо Т_сп < –t_{правост.кр.} (, k) – нульову гіпотезу відкидають.

Порівняння вибіркової середньої з гіпотетичною генеральною середньою нормальної сукупності за умови того, що дисперсія гс відома.

Правило 1. Для того, щоб при заданому рівні значущості , перевірити нульову гіпотезу H₀: m = m₀ про рівність генеральної середньої m нормальної сукупності з відомою дисперсію ² гіпотетичному (припускаємому) значенню m₀ при конкуруючій гіпотезі H₁: mm₀, потрібно обчислити спостерігаєме значення критерію і за таблицею функції Лапласа знайти критичну точку u_кр двохсторонній критичній області із рівності  (u_кр) = (1 – ) / 2. Якщо < u_кр – немає підстави відкинути нульову гіпотезу H₀. Якщо > u_кр – нульову гіпотезу відкидають.

Правило 2. При конкуруючій гіпотезі H₁: m > m₀, критичну точку правосторонньої критичної області знаходять із рівності  (u_кр) = (1 – 2) / 2. Якщо U_сп < u_кр – немає підстави відкинути нульову гіпотезу H₀. Якщо U_сп > u_кр – нульову гіпотезу відкидають.

Правило 3. При конкуруючій гіпотезі H₁: m < m₀ спочатку знаходять допоміжну критичну точку u_кр за правилом 2, а потім покладають границю лівосторонньої критичної області = – u_кр. Якщо U_сп > -u_кр – немає підстави відкинути нульову гіпотезу H₀. Якщо U_сп < -u_кр – нульову гіпотезу відкидають.

Порівняння вибіркової середньої з гіпотетичною генеральною середньою нормальної сукупності за умови того, що дисперсія гс невідома (мала вибірка).

Якщо дисперсія ГС невідома то як критерій перевірки нульової гіпотези приймають випадкову величину Т, яка має розподіл Стьюдента з k = n –1 ступенями вільності: , де s – виправлене середнє квадратичне відхилення, n – обсяг вибірки.

Правило 1. Для того, щоб при заданому рівні значущості , перевірити нульову гіпотезу H₀: m = m₀ про рівність невідомої генеральної середньої m нормальної сукупності гіпотетичному значенню m₀ при конкуруючій гіпотезі H₁: m  m₀ потрібно вирахувати спостерігаєме значення критерію і за таблицею критичних точок розподілу Стьюдента, по заданому рівню значущості  і числу ступенів свободи k = n –1 знайти критичну точку t_{двохст.кр.} (, k) . Якщо < t_{двохст.кр.} (, k) – немає підстави відкинути нульову гіпотезу H₀. Якщо > t_{двохст.кр.} (, k) – нульову гіпотезу відкидають.

Правило 2. При конкуруючій гіпотезі H₁: m > m₀ , по заданому рівню значущості  і числу ступенів свободи k = n –1 знайти критичну точку t_{правост.кр.} (, k) правосторонньої критичної області. Якщо Т_сп < t_{правост.кр.} (, k) – немає підстави відкинути нульову гіпотезу H₀. Якщо Т_сп > t_{правост.кр.} (, k) – нульову гіпотезу відкидають.

Правило 3. При конкуруючій гіпотезі H₁: m < m₀ знаходять спочатку “допоміжну” критичну точку t_{правост.кр.} (, k) за правилом 2 і покладають границю лівосторонньої критичної області t_{лівост.кр.} (, k) = – t_{правост.кр.} (, k). Якщо Т_сп > – t_{правост.кр.} (, k) – немає підстави відкинути нульову гіпотезу H₀. Якщо Т_сп < – t_{правост.кр.} (, k) – нульову гіпотезу відкидають.

Студенти повинні опрацювати інші правила перевірки статистичних гіпотез, а саме [1; 7; 11; 12]:

порівняння двох середніх нормальних генеральних сукупностей з невідомими дисперсіями (залежні вибірки);

порівняння спостерігаємої частоти з гіпотетичною ймовірністю появи події;

критерій Бартлета порівняння декількох дисперсій нормальних ГС за вибірками різного обсягу;

критерій Кочрена порівняння декількох дисперсій нормальних ГС за вибірками однакового обсягу;

перевірка гіпотези про значимість вибіркового коефіцієнта кореляції;

перевірка гіпотези про нормальну ГС за критерієм Пірсона, коли емпіричний розподіл заданий у вигляді послідовності рівновідстоящих варіантів та відповідних їм частот, а також коли емпіричний розподіл заданий у вигляді послідовності інтервалів однакової довжини та відповідних їм частот;

перевірка гіпотези про нормальний розподіл ГС;

перевірка гіпотези про показниковий (експоненціальний) розподіл ГС;

перевірка гіпотези про розподіл ГС за біноміальним законом;

перевірка гіпотези про рівномірний розподіл ГС;

перевірка гіпотези про розподіл ГС по закону Пуассона.

Статистичні закономірності підлягають законам великих чисел. Ці закони втілені в теоремах Бернуллі, Чебишева, Колмогорова, центральній граничній теоремі тощо.

Зокрема теорема Чебишева формулюється так: Якщо X₁, X₂, …,X_n попарно незалежні випадкові величини, дисперсії яких обмежені (D (X_i) < const, i ), то для довільного 0 виконується співвідношення:

.

_______________________________________________________________________________________