2. Несобственный интеграл второго рода

(интеграл от разрывной функции)

Пусть функция непрерывна на и имеет разрыв при . Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают . Таким образом, по определению

.

Если в правой части существует конечный предел, то интеграл называется сходящимся, если же предел равен бесконечности или не существует, то интеграл называется расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл

.

Если функция терпит разрыв во внутренней точке отрезка , то

.

В этом случае интеграл слева называется сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.

Пример. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость .

Решение. Область определения подынтегральной функции , , так как внутренняя точка интервала интегрирования. Следовательно, данный интеграл несобственный интеграл второго рода.

.

.

Ответ: Первый интеграл расходится, следовательно, исходный несобственный интеграл расходящийся.

2. Геометрические приложения определенного интеграла

1. Площадь плоской фигуры

Прямоугольные координаты

П усть дан график функции в прямоугольной системе координат (рис. 1).

Площадь криволи­нейной трапеции, расположенной выше оси абсцисс, равна соответствующему определенному интегралу

.

Если криволинейная трапеция расположена ниже оси абсцисс, то ее площадь может быть найдена по формуле

.

Площадь фигуры, ограниченной кривыми и , прямыми (рис. 2), может быть найдена по формуле

.

Кривая задана параметрически

Пусть кривая задана параметрически .

В формулу подставляем , . Пределы интегрирования пересчитываем, подставляя в формулу для :

.

В итоге получаем .

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Решение. В силу симметрии эллипса определим площадь четвертой части фигуры (рис. 3)

.

Пределы интегрирования определяем по формулам

.

Следовательно,

.

Ответ: .

Полярная система координат

У

равнение кривой в полярной системе координат имеет вид , где угол меняется от до . Возьмем малый элемент площади (рис. 4), соответствующий углу . Дифференциал пред­ставляет собой главную часть приращения при и равен площади кругового сектора радиуса с центральным углом .

Составляя пропорцию

получим . Следовательно, .

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной двухлепестковой розой (рис. 5).

Рис. 5

Решение.

Ответ: .

2.2. Вычисление длины дуги плоской кривой

Прямоугольная система координат

Рассмотрим произвольную кривую АВ (рис. 6). Найдем длину кривой . Разделим кривую на отдельных элементов и выделим один из таких элементов . Обозначим длину хорды, стягивающей выделенную дугу через . Получим

Длина ломаной линии, стягивающей всю кривую АВ, будет

,

= ,

где – значения переменной на концах кривой АВ.