Тема 2. Оптимизационные методы математики в экономике Лекция 2. Оптимизационные модели Понятие оптимизационных задач и оптимизационных моделей
Экономико-математические задачи, цель которых состоит в нахождении наилучшего (оптимального) с точки зрения некоторого критерия или критериев варианта использования имеющихся ресурсов (труда, капитала и пр.), называются оптимизационными.
Оптимизационные задачи (ОЗ) решаются с помощью оптимизационных моделей (ОМ) методами математического программирования.
Структура оптимизационной модели состоит из целевой функции, области допустимых решений и системы ограничений, определяющими эту область.
Область допустимых решений - это область, в пределах которой осуществляется выбор решений. В экономических задачах она ограничена наличными ресурсами, условиями, которые записываются в виде системы ограничений, состоящей из уравнений и неравенств.
Если система ограничений несовместима, то область допустимых решений является пустой. Ограничения подразделяются на:
а) линейные (I и II) и нелинейные (III и IV) (рис.1);
Рис. 1. Линейные и нелинейные ограничения
б)
детерминированные (А,В) и стохастические
(группы кривых
)
(рис. 2).
Рис. 2. Детерминированные и стохастические ограничения
Стохастические ограничения являются возможными, вероятностными, случайными.
Оптимизационные задачи решаются методами математического программирования, которые подразделяются на:
линейное программирование;
нелинейное программирование;
динамическое программирование;
целочисленное программирование;
выпуклое программирование;
исследование операций;
геометрическое программирование и др.
Главная задача математического программирования - это нахождение экстремума функций при ограничениях в форме уравнений и неравенств.
Рассмотрим оптимизационные задачи, решаемые методами линейного программирования.
Оптимизационные задачи с линейной зависимостью между переменными
Пусть:
-
количество ресурса вида i
(i=1,2,...,m);
-
норма расхода i - го ресурса на единицу
j - го вида продукции;
-
количество продукции вида j (j=1,2,...,n);
-
прибыль (доход) от единицы этой продукции
(в задачах на минимум - себестоимость
продукции).
Тогда оптимизационные задачи линейного программирования (ЛП) в общем виде может быть сформулирована и записана следующим образом:
Найти
переменные
,
при которых целевая функция
,
была бы максимальной (минимальной), не нарушая следующих ограничений:
,
,
.
Вcе три случая можно привести к так называемой канонической форме, введя дополнительные переменные:
,
k-количество дополнительных переменных, и условие неотрицательности искомых переменных:
.
В результате решения задачи находится некий план (программа) работы некоторого предприятия. Отсюда и появилось слово “программирование”. Слово линейное указывает на линейный характер зависимости как в целевой функции, так и в системе ограничений. Следует еще раз подчеркнуть, что задача обязательно носит экстремальный характер, т.е. состоит в отыскании максимума или минимума (экстремума) целевой функции.