1.3. Свойства двойного интеграла

1. .

2. Если функцию , интегрируемую в области , умножить на постоянную k, то полученная функция k f (x,y) также будет интегрируема в области , причем

.

3. Если в области интегрируемы функции и , то интегрируема и функция , причем

.

4. Если область , в которой задана функция , простой кривой разделена на две области и , то из интегрируемости функции во всей области следует ее интегрируемость в областях и , и обратно – из интегрируемости функции в обеих областях и вытекает ее интегрируемость в области . При этом

.

5. Если для интегрируемых в области функций и выполняется неравенство , то .

6. В случае интегрируемости функции в области интегрируема и функция |f(x,y)| в области , и имеет место неравенство .

7. Теорема О СРЕДНЕМ. Если функция непрерывна в области , то найдется такая точка в области , что = = f ·S_D, где S_D – площадь области D.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Свойство 3 обобщается на любое конечное число функций.

Свойство 4 обобщается на любое конечное число областей.

1.4. Сведение двойного интеграла к повторному интегралу

Продолжая трактовать двойной интеграл геометрически, как объем цилиндрического бруса, дадим указания относительно его вычисления путем сведения к повторному интегралу.

Ранее рассматривалась задача вычисления объема тела по его поперечным сечениям. Напомним относящуюся сюда формулу. Пусть тело ограничено плоскостями и (рис.1.2).

Рисунок. 1.2

Допустим, что сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси абсцисс и отвечающей абсциссе , имеет площадь . Тогда объем тела, в предположении его существования, выразится формулой

. (1.4)

Применим теперь эту формулу к вычислению объема цилиндрического бруса, о котором шла речь выше. Начнем с простого случая, когда в основании бруса лежит прямоугольник [a, b; с, d] (рис.1.3).

Рисунок. 1.3

Сечение бруса плоскостью есть криволинейная трапеция . Для нахождения ее площади спроектируем эту фигуру на плоскость . Получим конгруэнтную с ней трапецию (ибо проектирование происходит без искажения). Но уравнение линии на плоскости , очевидно, будет .

Пользуясь известным выражением площади криволинейной трапеции в виде определенного интеграла, будем иметь . Так как наше рассуждение относится к любому сечению, то вообще для . Подставляя это значение в формулу (1.4), получим . Но мы имеем для объема и выражение (1.2*), следовательно, - двойной интеграл приведен к повторному.

Аналогичный результат можно получить и для общего случая, когда область на плоскости представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную двумя кривыми: и двумя прямыми и (рис. 1.4). Разница по сравнению с рассмотренным случаем состоит в следующем: раньше при любом фиксированным изменение происходило в одном и том же промежутке , а теперь этот промежуток сам зависит от , так что

.

Окончательно получим: .

Рисунок. 1.4

1.5. Вычисление двойных интегралов

1.5.1. Вычисление двойных интегралов в декартовых координатах

Определение 4. Область называется правильной в направлении оси ординат, если любая прямая, проходящая через внутренние точки области параллельно оси ординат, пересекает границу этой области в двух точках.

Аналогично дается определение области, правильной в направлении оси абсцисс.

Следующие две теоремы позволяют вычислять двойные интегралы в декартовых координатах.

ТЕОРЕМА 3. Если функция непрерывна в области , область - правильная в направлении оси ординат (рис. 1.4), то

.

ТЕОРЕМА 4. Если функция непрерывна в области , область - правильная в направлении оси абсцисс (рис. 1.5), то

.

Рисунок. 1.5