55. Нелокальные одношаговые итер процессы полного прогноза для решения нелинейных уравнений с гладкими операторами.

Опр: Будем говорить, что ф-ция f:XY дифф-ма по Фреше в т-ке x₀X, если сущ-ет лин огранич оператор Df(x₀)L(V,Y), для которого выполн условие: ||f(x₀+h) ‑ f(x₀)- Df(x₀)h||_Y=o(||h||_V), где || || _Y – норма в пр-ве Y, || || _V – норма в векторном пр-ве V, параллельном пр-ву X.

В одношаговых м-дах исп-ся нормы , а в многошаговых в 3-х: . В методах неполного прогноза при выч-нии исп-ся норма , в м-дах полного прогноза исп-ся .

Теоретич условия сх-ти метода Ньютона — сущ-ние и огран-ть обратной матрицы Якоби в точке начального приближения.

(1)

Шаг1. Решается лин ур-ние отн-но : (3)

Шаг2. Вносится поправка в : (4)

Шаг3. Если где -малая вел-на, то выход, иначе переход на 4

Шаг4.если то иначе .

- мет. Н.Н.Калиткина.

Теорема. Пусть в области , сущ -решение ур-ния f(x)=0 и выполн след условия: а) б) в) г) , тогда итер процесс (3), (4) со сверхлин скоростью (локально с квадратичной) сход к . Оценка погрешности .

Док-во.

.Тогда (5)

Пусть , тогда , тогда , в этом случае в силу (5) . Отсюда следует, что . Тогда

Т о, посл-ть монот возрастает, а - монотонно убывает с ростом n. , из кот следует слабая сх-ть эл-тов , генерируемых алг-мом (2)-(4), к . (6)

Определим радиус сферы

Получим .

Из Шага 1 и (6) имеем, что последовательность фундаментальна и в силу полноты пространства имеем предел, который является решением уравнения (1) и при этом все последовательные приближения не выходят за пределы сферы . Из следует, что существует такой номер , начиная с которого станет выполняться неравенство . Если , то с этого момента процесс (2)-(4) переходит в метод Ньютона с характерной для последнего квадратичной скоростью сходимости.

Замеч Локальная квадр скорость сходимости следует из (5) при _n=1.

73. Нелокальные одношаговые итерационные процессы неполного прогноза типа Стеффенсена для решения нелинейных уравнений.

- разделенная разность 1ого поряд.

- разность 2–ого порядка.

Аналог интерполяц. формулы Ньютона для операторов:

В методах неполного прогноза при выч-нии исп-ся норма , в м-дах полного прогноза исп-ся .

(2)

Шаг 1. Решается линейное уравнение относительно поправки

где (3)

Шаг 2. (4)

Шаг 3. Если – конец просчетов, иначе переход на шаг 4.

Шаг4. Если то иначе

Т-ма. Пусть в области , сущ -решение (1) и вып-ся след условия: a) b) с) d) .Тогда итер процесс (3)- (4) со сверхлинейной скоростью (локально с квадратичной) сход к . Оценка погрешности .

Д-во.

. .Тогда (5)

Пусть , тогда , тогда , в этом случае в силу (5) . Отсюда . Тогда . Т о, посл-ть монотонно возрастает, а - монотонно убывает. Получ. , следует слабая сходимость элементов к . (6)

Радиус сферы определяем

Индуктивно получаются оценки .

Радиус выберем максимальный.

Покажем, что достигнет 1:

, что невозм в силу шага 4.

, если альфа=1 –лин сход-ть, =2 – квадратичная.

Замечание Локальная квадр скорость сходимости следует из (5) при _n=1.