1.4. Контрольные вопросы
1. Какие задачи оптимизации решаются при эксплуатации электроэнергетических систем?
2. Какие критерии оптимальности выбираются при решении задач оптимизации?
3. Какие уравнения связи применяются при решении задачи оптимизации методом множителей Лагранжа?
4. С учетом каких дополнительных условий метод Лагранжа позволяет найти условный экстремум целевой функции?
5. Какова запись функции Лагранжа при решении задач оптимизации распределения нагрузки между электростанциями в тепловой энергосистеме?
6. Поясните суть метода множителей Лагранжа.
7. Сформулируйте условие оптимальности для тепловой и гидротепловой энергосистем.
Практическое занятие № 2. Градиентный метод оптимизации
2.1. Задание
Определить распределение активной мощности между электростанциями градиентным методом в сочетании с методом наискорейшего спуска без учета потерь.
2.2. Теоретическая часть
Градиентный метод относится к классу итерационных методов. На каждом итерационном шаге спуск (движение в координатах оптимизируемых параметров, которому соответствует убывание целевой функции) осуществляется в направлении, противоположном градиенту целевой функции (в направлении антиградиента). Относительно точки, из которой осуществляется итерационный шаг, направление антиградиента перпендикулярно линии равного уровня целевой функции и соответствует направлению наискорейшего убывания целевой функции.
Целевая функция – минимум расхода топлива
B(P) = B1(P1) + B2(P2) + B3(P3).
Уравнение ограничений – уравнение баланса мощностей
P1 + P2 + P3 – PН = 0.
Для уменьшения числа оптимизируемых параметров целевую функцию B(P) можно выразить только через независимые переменные P1, P2. Примем третий узел в качестве балансирующего узла, выразим мощность балансирующего узла из уравнения баланса мощностей и подставим в целевую функцию
B(P) = B1(P1) + B2(P2) + B3(PН – P1 – P2). (2.1)
Общее итерационное выражение
(2.2)
Используя исходные данные, зададимся точностью расчета
%, (2.3)
где Bi–1 и Bi – значения целевой функции, достигнутые после i–1 и i итераций соответственно.
В качестве направления движения используется направление наибольшего убывания целевой функции. Выражение для направления антиградиента
(2.4)
После выбора направления спуска требуется определить оптимальную длину шага в данном направлении. С этой целью по методу наискорейшего спуска зависимость целевой функции от длины шага в направлении антиградиента аппроксимируется полиномом второй степени
(2.5)
и находится экстремум функции аппроксимации из условия
(2.6)
или же оптимальная длина шага
. (2.7)
Для определения трех коэффициентов полинома BАП(q) необходимо сделать 2 шага единичной длины в направлении антиградиента из исходной точки данной итерации, что позволяет составить систему из трех уравнений для трех точек функции аппроксимации.
Решив систему, определим значения коэффициентов a, b, и c.
Отсюда оптимальная длина шага
. (2.8)
Целевая функция – минимум расхода топлива
B(P) = B1(P1) + B2(P2) + B3(P3).
Уравнения связи – расходные характеристики станций
Уравнения ограничений – уравнение баланса мощностей
P1 + P2 + P3 – 827,1 = 0.
Выразим мощность балансирующего узла P3 из уравнения баланса мощностей и подставим в целевую функцию
(2.9)
В качестве направления движения используется направление наибольшего убывания целевой функции. Найдем выражение для направления антиградиента
(2.10)
I итерация
Начальное приближение
.
Найдем значение антиградиента в данной точке
Делаем три пробных шага в направлении антиградиента
Находим значение оптимального шага
Находим следующее приближение мощности
Находим значение функции в этой точке
Проверяем условие сходимости
условие не выполняется.
Повторяем итерации до тех пор, пока условие сходимости не будет выполняться (в тетрадях привести все итерации).
Находим значение мощностей станций
P1 = 325,2 МВт,
P2 = 277,1 МВт,
P3 = 827,1 – 325,2 – 277,1 = 224,8 МВт.