Многокритериальные решения

При широком применении методов исследования операций аналитики стали сталкиваться с задачами, где имеется не один, а несколько критериев оценки качества решения.

Рассмотрим транспортную задачу про распределение самолетов по рейсам. К критерию 1) минимальных расходов на обслуживание самолетов, обычном для транспортной задачи, вполне естественно добавить критерии 2) максимума прибыли и 3) максимума комфорта для пассажиров. Если есть три критерия, то необходимо согласовать их. Какое соотношение между оценками по критериям является наилучшим? Ответ на этот вопрос не определен условиями задачи. Нужна дополнительная информация, которая может быть получена только от руководства авиакомпании.

Сколько строить ракет? Перевод критериев в ограничения

Одним из первых подходов к принятию решений при двух критериях является метод «стоимость-эффективность». Он был разработан в конце 50-х годов в США, когда в годы ракетно-ядерной гонки США—СССР возникла задача о достаточности системы нападения для преодоления защиты потенциального противника. Метод «стоимость-эффективность» состоит из трех основных этапов:

1) построения модели эффективности ( );

2) построения модели стоимости ( );

3) синтеза оценок стоимости и эффективности.

Модель состоит из двух частей — модели стоимости и модели эффективности. Эти модели используются для выбора военной системы с определенным числом ракет. Модель стоимости представляет зависимость общей стоимости от количества ракет, а модель эффективности — зависимость вероятности поражения целей от количества ракет. Обе модели в данном случае объективные: они строятся на базе фактических данных, надежного статистического материала. Однако выходные параметры этих моделей нельзя просто механически объединить. Для синтеза оценки стоимости и эффективности используется суждение руководителя, и это отличает данную модель от типичных моделей исследования операций.

В общем случае на этапе синтеза стоимости и эффективности рекомендуется использовать два основных подхода: 1) фиксированной эффективности при минимально возможной стоимости, т. е. выбирается самая «дешевая» альтернатива, обладающая заданной эффективностью ( , ); 2) фиксированной стоимости и максимально возможной эффективности (случай бюджетных ограничений: , ). Смысл этих подходов — перевод одного из критериев оценки в ограничение. Как только это сделано, мы получаем обычную однокритериальную задачу.

Но при этом сразу же возникает вопрос: как, на каком уровне установить ограничение на один из критериев. Ответ на этот вопрос в общем случае не вытекает из условий задачи. Ни требуемая эффективность, ни бюджетные ограничения не устанавливаются обычно достаточно жестко.

Итак, перевод всех критериев кроме одного в ограничения — один из способов решения многокритериальных задач, сводящий их к задачам исследования операций. Однако само «сведение» сопряжено с произволом. Чем больше критериев переводится, тем больше произвола.

Взвешивание и объединение критериев: еще один способ избавиться от многокритериальности

Дано: область D допустимых значений переменных , определяемая совокупностью линейных равенств и неравенств; критерии , оценивающие качество решения.

Каждый из критериев линейно связан с переменными:

,

где n — число переменных; — числовые коэффициенты.

Требуется: найти решение X в области D, при котором достигаются наиболее приемлемые значения по всем критериям.

Введем весовые коэффициенты для критериев. Глобальный критерий (суперкритерий, т. е. критерий, объединяющий в себе все исходные) вычисляется по формуле

— частные критерии (i=1,…,m), — веса (коэффициенты важности) критериев:

.