8. Практическое применение дискретных распределений. Понятие потока событий (отказов). Условия простейшего (пуассоновского) потока событий: стационарность, отсутствие последействия, ординарность.

В задачах по надежности часто встречаются дискретные распределения вероятностей: биноминальное, Пуассона, гипергеометрическое

Биноминальное распределение (распределение Бернулли)

Рассмотрим последовательность n идентичных повторных испытаний, удовлетворяющих следующим требованиям:

• каждое испытание имеет два исхода – появление интересующего нас события А или непоявление – ; это – несовместные и противоположные события;

• вероятность р появления события А остается постоянной от испытания к испытанию; вероятность q непоявления события А q=1–p;

все n испытаний – независимы, т.е. вероятность появления события А в любом из n повторных испытаний не зависит от результатов других испытаний.

В результате каждого опыта некоторое событие А (например, отказ горной машины в течение рабочей смены) может появиться или не появиться, причем интерес представляет не результат каждого отдельного опыта, а общее число появлений события А. Вероятность Р(Х=m) того, что в n независимых опытах, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, событие наступит ровно m-раз безразлично в какой последовательности может быть

определена по формуле Бернулли :

, (3.15)

где - число сочетаний из n по m (при этом m может быть равно нулю или целому положительному числу меньше n),

;

q=1-p=P( ) - вероятность противоположного события.

Формула Бернулли остается верной и для крайних значений m=0 и m=n, если положить, как принято, 0!=1 и = =1. Таким образом, получаем следующую таблицу распределения вероятностей:

Таблица 3.3.

X	0	1	….	m	….	n-1	n
P(X=m)	qn	npqn-1	….		….	npn-1q	pn

Так как правая часть формулы (3.15) представляет общий член биноминального разложения (q+p)ⁿ, то таблицу распределения вероятностей называют биноминальным законом распределения вероятностей.

Математическое ожидание и дисперсия рассчитываются по формулам:

, .

Формула Бернулли используется для расчетов количества запчастей.

Распределение Пуассона

Если число испытаний велико, а вероятность появления события А в каждом испытании очень мала, то вместо формулы Бернулли пользуются приближенной формулой Пуассона.

Введем следующие понятия. Потоком событий (отказов) называется последовательность событий (отказов), наступающих одно за другим в случайные моменты времени. Поток событий является простейшим или пуассоновским, если выполнены условия:

1) вероятность наступления какого-либо числа событий за промежуток времени t не зависит от положения этого промежутка на оси 0,t (стационарность потока);

2) вероятность наступления того или другого числа событий на любом промежутке времени не зависит от числа событий, наступивших до начала этого промежутка (отсутствие последействия);

3) вероятность наступления двух или более событий за бесконечно малый промежуток времени dt есть бесконечно малая величина более высокого порядка, чем dt (ординарность потока);

4) вероятность наступления одного события за бесконечно малый промежуток времени dt пропорциональна длине этого промежутка с точностью до бесконечно малых высших порядков.

Для простейшего потока событий вероятность Р(Х=m) того, что СВ Х примет значение m, имеет вид:

, (m=0,1,2,...), (3.16)

где a=pn.

Эту зависимость называют распределением Пуассона и применяют при значениях р близких к 0 или 1 вместо формулы Бернулли. Из этой формулы получаем следующую таблицу распределения вероятностей.

Таблица 3.3.

X	0	1	2	…	m	…	n
P(X=m)				…		…

Математическое ожидание и дисперсия рассчитывается по формулам:

.

Распределение Пуассона используется для расчетов количества запчастей.