4.2. Мощность в цепях периодического несинусоидального тока

Допустим, ток и напряжение являются периодическими несинусоидальными функциями:

, .

Тогда для активной мощности можно записать

.

Учтем, что среднее за период значение произведения синусоидальных функций различной частоты равно нулю. Следовательно,

, (4.4)

где .

Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармонических:

Аналогично для реактивной мощности можно записать

. (4.5)

Полная мощность

,

где Т – мощность искажений, определяемая произведениями действующих значений разнопорядковых гармонических тока и напряжения.

 

4.3. Методика расчета линейных цепей при периодических несинусоидальных токах

Возможность разложения периодических несинусоидальных функций в ряд Фурье позволяет свести расчет линейной цепи при воздействии на нее несинусоидальных ЭДС (или токов) источников к расчету цепей с постоянными и синусоидальными токами в отдельности для каждой гармоники. Мгновенные значения искомых токов и напряжений определяются на основе принципа наложения путем суммирования найденных при расчете гармонических составляющих напряжений и токов.

Допустим, в линейной цепи (рис.4.4) имеется периодическая несинусоидальная ЭДС, содержащая постоянную составляющую E₀ и n ЭДС высших гармоник (при расчете спектр рассматриваемых гармоник ограничивается):

.

Рис.4.4

В соответствии с изложенным ранее, схему (рис.4.4) представляем в виде суммы схемы для постоянной составляющей E₀ (рис.4.5а) и схемы (рис.4.5б) для высших гармоник ЭДС. В схеме (рис.4.5а) индуктивности закорочены, а ветви, содержащие емкости – разомкнуты.

а) б)

Рис. 4.5

В схеме (рис.4.5б) сопротивления реактивных элементов (индуктивности и емкости) должны рассчитываться по отдельности для частот заданных ЭДС высших гармоник:

; ; .

Тогда, например, для тока в ветви с источником ЭДС, имеем

,

где каждая гармоника тока рассчитывается символическим методом

;

.

Необходимо помнить, что ввиду различия частот суммировать комплексы различных гармоник недопустимо.

Таким образом, методика расчета линейных цепей при несинусоидальных токах сводится к следующему:

1. ЭДС и токи источников раскладываются в ряды Фурье.

2. Осуществляется расчет цепи в отдельности для каждой гармонической.

3. Искомые величины определяются как алгебраические суммы соответствующих гармонических.

4.4. Высшие гармоники в трехфазных цепях

Напряжения трехфазных источников энергии часто бывают существенно несинусоидальными. При этом напряжения фаз В и С повторяют несинусоидальную кривую  напряжения фазы А со сдвигом на треть периода Т основной гармоники:

, .

Пусть для фазы А k-я гармоника напряжения . Тогда с учетом, что , для k-х гармонических напряжений фаз В и С соответственно можно записать:

;

.

Всю совокупность гармоник можно распределить по трем группам:

1.  - гармоники данной группы образуют симметричные системы напряжений, последовательность которых соответствует последовательности фаз первой гармоники, т.е. они образуют симметричные системы напряжений прямой последовательности.

Действительно,

;

.

2. - гармоники данной группы образуют симметричные системы напряжений обратной последовательности. Для этих гармоник имеют место соотношения:

;

3. . Для этих гармоник справедливо:

;

.

Таким образом, векторы напряжений данной группы во всех фазах в любой момент времени имеют одинаковые модули и фазы, т.е. эти гармоники образуют системы нулевой последовательности.

Рассмотрим особенности работы трехфазных систем, обусловленные наличием гармоник, кратных трем.

1. Если фазы генератора соединены в треугольник, то при несинусоидальных фазных ЭДС сумма ЭДС, действующих в контуре (рис. 4.6, а) не равна нулю, а определяется гармониками, кратными трем. Эти гармоники вызывают в замкнутом треугольнике генератора ток, даже когда его внешняя цепь разомкнута:

,

где , , .., а  - сопротивление фазы генератора для i-ой гармоники, кратной трем.

а) б)

Рис. 4.6

2. Если фазы генератора соединить в открытый треугольник (рис. 4.6, б), то на зажимах 1-2 будет иметь место напряжение, определяемое суммой ЭДС гармоник, кратных трем:

.

Таким образом, показание вольтметра в цепи (рис. 4.6, б)

3. Независимо от способа соединения (в звезду или треугольник) – линейные напряжения не содержат гармоник, кратных трем.

При соединении в звезду это объясняется тем, что гармоники, кратные трем, как указывалось, образуют нулевую последовательность, ввиду чего исчезают из линейных напряжений, равных разности фазных напряжений. При соединении в треугольник составляющие фазных ЭДС, кратные трем, не выявляются в линейных (фазных) напряжениях, так как компенсируются падениями напряжений на собственных сопротивлениях фаз генератора.

Таким образом, при соединении в треугольник напряжение генератора

.

Линейный ток также не содержит гармоник, кратных трем

.

При соединении звездой в фазных напряжениях могут присутствовать все гармоники (постоянная составляющая обычно отсутствует)

.

и при наличии в них гармоник, кратных трем, отношение < .

4. При симметричной нагрузке ток в нейтральном проводе определяется гармоническими, кратными трем, поскольку они образуют нулевую последовательность:

.

5.При соединении в звезду и отсутствии нейтрального провода фазные токи нагрузки не содержат гармоник, кратных трем (в соответствии с первым законом Кирхгофа сумма токов равна нулю, что невозможно при наличии этих гармоник). Соответственно нет этих гармоник и в фазных напряжениях нагрузки, связанных с токами законом Ома. Таким образом, при наличии гармоник, кратных трем, в фазных напряжениях генератора напряжение смещения нейтрали в симметричном режиме определяется этими гармониками