Принцип экстремума для гармонических функций.

Теорема Если - гармоническая в ограниченной области с границей то внутри этой области она не имеет ни max ни min достигая своего наибольшего и наименьшего значений на границе области.

Доказательство: ◄Пусть - имеет max в некоторой внутренней т. обл. окружим эту точку шаровой поверхностью , радиус которой выберем настолько малым, чтобы выполнялось неравенство , где – max значение функции на поверхности . Пусть -это произвольная т., лежащая или на поверхности или внутри этой поверхности, то - рассмотрим м/у т. и т. . Всегда можно подобрать

. Рассмотрим теперь вспомогательную функцию . Если т. и т. совпадает, то . Это значит, что функция которая в т. совпадает с превосходит наибольшее значение на , т.к.

Последнее означает, что max функции находится внутри поверхности . В т. max вторые производные функции многих переменных не положительны .

Находим: .

Полученное противоречие говорит о том, что max-м функции не может находиться во внутренней точке области . Аналогично рассматривается случай min т.к. – непрерывна на компакте, по т.Вейерштрасса она достигает на нём своего наибольшего и наименьшего значении. Т.к. достижение max и min не возможно,

Следствие:

то они достигают на границе . Если является гармонической в ограниченной обл. с границей , то

Отсюда что если , то

Следствие: Если функция - гармонична в неограниченной области с конечной границей , то max модуля этой функции достигается на границе. .

Доказательство: ◄ Возьмём шар радиуса настолько большого, чтобы конечная граница целиком лежала внутри шара. Область, заключённая м/у границей и поверхностью шара является ограниченной и по следствию1 . Т.к. функция гармоническая в неограниченной области обладает свойством , , при . ►

Единственность и устойчивость решения задачи Дирихле.

Теорема: Решение задачи Дирихле (внутренней или внешней) единственно и устойчиво к изменению граничных условий. (Для уравнения Лапласа и Пуассона) Доказательство: Рассмотрим задачу Дирихле

Пусть и - два различных решения этой задачи. Обозначим их разность через . Функция является решением задачи: .

Если задача внутренняя, то согласно первому следствию из признака экстремума . Если же задача внешняя, то этот же результат получаем, применяя следствие2 из принципа max. Для обоснования устойчивости решения задачи Дирихле рассмотрим две задачи:

причём считаем, что .

Обозначим и - решение первой и второй задачи соответственно, для их разности получим задачу

Т.к. функция гармоническая, то на основании следствия из принципа экстремума: .

решение внутренней и внешней задачи Дирихле (граница конечная) устойчива к изменению граничных условий.