4.3 Обобщенный (изображающий) вектор трехфазной системы

Мгновенные значения переменных (токов, напряжений и др.) можно получить проектируя три вращающихся вектора, которыми характеризуется трехфазная система, на неподвижную ось времени. Те же значения можно получить если векторы оставить неподвижными, а вращать линию времени в противоположном направлении с той же скоростью (рис.4.3а) Мгновенные значения можно так же получить, проектируя единый (обобщенный) вращающийся вектор на три неподвижные оси времени. При его вращении против часовой стрелки чередование осей времени фаз нужно изменить на противоположные. Однако, с помощью обобщенного вектора можно представить любые мгновенные значения, изменяющиеся во времени по любому закону при условии, что . Это связано с тем, что сумма проекций вектора на три оси, сдвинутые на угол 120⁰ всегда будет равна нулю. Такой вектор называется обобщенным или изображающим вектором трехфазной системы. При известных мгновенных величинах значение модуля обобщенного вектора определяется как

. (4.12)

Положение этого вектора можно охарактеризовать углом по отношению к оси фазы А (рис.4.3а):

. (4.13)

4.4 Замена переменных

Попробуем произвести замену переменных таким образом, чтобы в дифференциальных уравнениях освободиться от переменных коэффициентов. Такое преобразование впервые предложил Блондель для установившегося режима СГ.

Изображающий вектор можно проектировать не на неподвижные оси трехфазной системы, а на любые другие оси. В качестве таких осей выберем продольную и поперечную оси ротора, которые вращаются вместе с ротором (рис.4.3б).

Такое преобразование по существу математических операций соответствует замене переменных

, (4.14)

. (4.15)

Связь с фазными переменными определяется следующими равенствами:

, (4.16)

, (4.17)

. (4.18)

Решив систему уравнений (4.16) – (4.18) относительно и , имеем

, (4.19)

. (4.20)

Если сумма мгновенных значений не равна нулю, то добавляется еще одна составляющая .

. (4.21)

В этом случае при переходе к фазным переменным необходимо в каждом из равенств (4.16) – (4.18) добавлять нулевую составляющую .

Под переменной f можно понимать ток, напряжение, потокосцепление и др.

Трехфазная система, например, токов, которая изменяется по закону косинуса, в системе вращающихся координат d, q изображается постоянными величинами. Действительно, поскольку обобщенный вектор, модуль которого равен амплитудному значению тока, вращается с синхронной скоростью в направлении вращения ротора, то проекция этого вектора на оси d, q – величины постоянные.

4.5 Уравнения Парка-Горева

Преобразуем дифференциальное уравнение, записанное для статорной обмотки, например фазы А СГ, (4.3), путем замены фазных переменных их составляющими в координатах d, q.

.

После перегруппировки слагаемых это выражение можно представить в следующем виде

. (4.22)

Уравнение (4.22) должно быть справедливо при любых значения . Это возможно только при условии, что каждое из слагаемых (4.22) заключенных в скобки тождественно равны нулю. Следовательно выражение (4.22) распадается на три уравнения:

, (4.23)

, (4.24)

. (4.25)

Уравнения для обмоток, расположенных на роторе (4.4) – (4.5) не изменятся.

В (4.23), 94.24) составляющие и - ЭДС трансформации. Они возникают при изменении соответствующего потокосцепления, связанного с изменением токов. В установившемся режиме при постоянных значениях токов ЭДС трансформации отсутствуют.

Составляющие и - ЭДС вращения. Они возникают при перемещении магнитного потока, вызванного вращением ротора.

В соответствии с (4.2) . При синхронной скорости вращения ротора в относительных единицах получим .

Полученные уравнения (4.23) – (4.25) вместе с уравнениями (4.4) и (4.5) называют полными уравнениями Парка-Горева. Им можно дать такую физическую интерпретацию. Три неподвижные фазные обмотки статора заменили двумя эквивалентными обмотками вращающимися вместе с ротором, и в которых протекает ток i_d и i_q. Магнитные оси этих обмоток направлены вдоль осей d и q. Электрическая схема такого преобразованного синхронного генератора показана на рис.4.4

Т аким образом по продольной оси имеем три неподвижные относительно друг друга контура (эквивалентная статорная обмотка d, обмотка возбуждения f и продольна демпферная обмотка 1d), связанные общим потоком взаимоиндукции . По поперечной оси имеем два контура (эквивалентная статорная обмотка q и поперечная демпферная обмотка 1q), связанных потоком взаимоиндукции . Токи, протекающие в каждом контуре создают магнитные потоки рассеяния , связанные только с соответствующей обмоткой. Поскольку оси d и q ортогональны, то магнитные связи между контурами, расположенными по этим осям, отсутствуют.

В соответствии с выполненными преобразованиями выражения для результирующих потокосцеплений обмоток синхронного генератора будут иметь вид

, (4.26)

, (4.27)

, (4.28)

, (4.29)

, (4.30)

. (4.31)

Поскольку в преобразованной машине обмотки, расположенные по каждой из осей магнитной симметрии не перемещаются относительно друг друга, то в уравнениях (4.26) - (4.31) для потокосцеплений постоянные коэффициенты.