2.4. Швидке перетворення Фур'є (шпф).

З позиції практики головним недоліком всіх описаних вище методів Фур'є-аналізу та синтезу функції і сигналів є великий час обчислень. Це пов'язано з тим, що в формулах для коефіцієнтів Фур'є присутні швидко осцилюючі множники, що вимагають розбивки інтервалів інтегрування на дуже маленькі частини.

Для подолання обчислювальних труднощів, пов'язаних з інтегруванням в ході ППФ і ОПФ швидкоплинних функцій, були запропоновані методи швидкого перетворення Фур'є. Вони використовують спеціальну техніку комбінації відліків функції, помножених на осцилюючі множники, і враховують періодичність значень тригонометричних функцій. Алгоритми ШПФ не зменшують похибки обчислень при заданому числі гармонік, але дозволяють різко зменшити час спектрального аналізу і синтезу - особливо, якщо чисто часових відліків коротко , де - ціле число.

Достатньо не всі СКМ мають функції, що реалізують ШПФ. Частково це пов'язано з тим, що висока ефективність ШПФ забезпечується тільки при числі відліків функції кратному 2 в цілій степені. Якщо відліків менше, то найчастіше їх просто доповнюють до числа, кратного 2 в цілій степені, шляхом додавання нульових відліків.

Функція системи Mathcad виконує ШПФ для даних, представлених дійсними числами - значеннями вихідного вектора . Він повинен мати точно 2^m складових, де - ціле число. В іншому випадку виводиться повідомлення про помилку - невірному розмірі вектора. Якщо число елементів векторів все ж відрізняється від цілої степеня двох, то його можна доповнити нулями до цієї величини. Елементи вектора, що повертається функцією відповідає формулі:

Тут - число елементів вектора , - уявна одиниця, - індекс підсумовування (від до ), і - номер гармоніки (від до ). Ці елементи вектора відповідають наступним частотам:

Тут - частота квантування сигналу, який піддається ШПФ. Елементи вектора, що повертається функцією ( ) в загальному випадку комплексні числа, навіть якщо сигнал представлений речовими відліками.

Пряме перетворення Фур'є по суті означає переклад тимчасової залежності в її частотний спектр. А зворотнє перетворення Фур'є переводить частотний спектр знову в тимчасову залежність.

Функція ( ) реалізує зворотнє (інверсне) перетворення Фур'є для вектора v з комплексними елементами. Вектор тут повинен мати елементів. В іншому випадку видається повідомлення про помилку. Функція ( ) спочатку створює вектор , комплексно-зв'язаний з , і потім приєднує його до вектора . Після цього обчислює вектор з елементами, розрахованими за формулою:

Функції і дають точні (в межах похибки чисельних розрахунків) звернення. можна використовувати для перевірки перетворень.

Функція аналогічна попередній, але реалізує пряме перетворення Фур'є для вектора з комплексними елементами. Якщо - матриця, то реалізується двомірне перетворення. Введення функції обумовлено тим, що перетворення для векторів з дійсними елементами реалізується по більш швидкому алгоритму (ШПФ) і займає менше часу. У цьому випадку більш простий і введення вихідних даних.

Функція виконує зворотне перетворення Фур'є за повним алгоритмом, при якому вихідний, так і результуючий вектори або матриці містять елементи з комплексними значеннями.

В основі ШПФ лежить проріджування по частоті і пірамідальний алгоритм, що виключає повторне обчислення періодично повторюваних членів тригонометричного ряду Фур'є. ШПФ алгоритм виконується за - операцій, де - число звітів сигналу.

Завдання 2.4.

Зобразити ШПФ для спектрального розкладання і синтезу фільтра з сигналом прямокутного імпульсу

Рис. 2.3. Застосування ШПФ для спектрального розкладання і синтезу імпульсу.

Завдання 2.5.

Побудувати пряме і зворотне ШПФ і його спектограмму функції, при:

Рішення:

Рис. 2.4. ШПФ для складної функції з побудовою її спектрограми.

Показаний приклад застосування прямого і зворотного перетворень Фур'є. Тут для перетворення використана складна трехкомпонентна функція, що містить два синусоїдальних компонента і компонент у вигляді випадкових чисел.

На графіку зліва проводиться порівняння вихідної функції з результатом її прямого і зворотного перетворень Фур'є, а на графіку праворуч дається побудова спектрограми функції (на цей раз лінією, що представляє собою обвідна спектра). Незважаючи на наявність помітної шумової складової на спектрограмме чітко виділяються піки, відповідні частотам після прямого ШПФ задати спотворення гармонік, характерні для роботи якого-небудь фільтра - при цьому можна спостерігати ступінь спотворення сигналу, що пройшов через фільтр.