Узагальнений критерій Стьюдента

Сприятливими умовами для застосування цього критерію є підпорядкування даних нормального закону розподілу та однаковість дисперсій кожного з об’єктів:

, ;

;

; (1.4)

.

У випадку застосування критерію Стьюдента, як звичайно, аномальними вважають об’єкти з високим середнім значенням деякого параметра, а у випадку застосування критерію Краскала–Волліса – з низьким середнім значенням. Це випливає з відмін­но­стей у методі визначення міри незбіжності середнього в головній сукупності: в критерії Стьюдента – це модуль різниці середніх зна­чень, а в критерії Краскала–Волліса – сума рангів. З позиції математичної статистики прийнятнішим є критерій Кра­скала–Волліса, оскільки він не потребує перевірки нормальності розпо­ділів та однаковості дисперсій. З погляду прикладних досліджень, навпаки, часто відділення об’єктів з високим серед­нім значенням є свідченням, наприклад, наявності корисних копалин.

Виділення груп об’єктів, однорідних за середнім значенням Критерій хі-квадрат, що ґрунтується на статистиці Велча

Цей критерій застосовний для перевірки гіпотези (1.1) у задачі визначення однорідності всіх k розглядуваних об’єктів щодо середнього значення (величини, вмісту) деякого параметра.

Нехай кожен з об’єктів представлений вибіркою обсягу , на підставі якої обчислено оцінки середнього і дисперсії . Для кожної пари об’єктів обчислюють статистику

. (1.5)

Ці значення заповнюють матрицю вигляду (унаслідок симетрії знаходять лише елементи не нижче головної діагоналі)

. (1.6)

З усіх обчислених значень вибирають найменше, яке порівнюють з критичним (допустимим) значенням хі-квадрат розподілу з одним ступенем вільності (для заданого рівня значущості , ). Для довідки: =0,05 => =3,84. Якщо

, (1.7)

то всі об’єктів суттєво різні за середнім вмістом, і перевірку гіпотези завершено. Інакше вибирають ту пару об’єктів, для яких значення критерію є мінімальним, і ці два об’єкти об’єднують в одну однорідну групу. Процедуру перевірки гіпотези (1.1) тепер уже для об’єктів і однієї утвореної однорідної групи повто­рюють. Така ітераційна процедура, що використовує парні об’єд­нання за мінімальним значенням критерію, триває доти, доки або не буде виконано об’єднання, або мінімальне значення перевищить допустиме. У першому випадку приймають гіпотезу про повну однорідність набору з об’єктів, у другому – про його неоднорідність.

;

.

Критерій хі-квадрат, що ґрунтується на статистиці Вілкоксона

Для обмеженого обсягу вибірки або для даних, розподіл яких значно відрізняється від нормального, як статистику в задачі визначення однорідності групи об’єктів за середнім значенням викори­стовують критерій хі-квадрат, що ґрунтується на непара­метричній статистиці Вілкоксона. Цей критерій потребує пере­вірки підпорядкування даних нормальному розподілу. Для кожної пари об’єктів обчислюють значення статистики Вілкоксона, які за допомогою асимптотичного наближення перетворюються у випадкові величини, розподілені згідно з хі-квадрат розподілом:

, . (1.8)

У подальшому процедура перевірки гіпотези (1.1) повторює попередній пункт, тобто обчислюють матрицю (1.6) та знаходять мінімальне значення.