Міністерство освіти і науки України

Мала академія наук

I I I етап Всеукраїнського конкурсу-захисту науково-дослідницьких робіт Секція “Аерофізика та космічні дослідження”

9 клас

1. При яких значеннях параметра рівняння має єдиний корінь ?

2. Знайти усі пари натуральних чисел , для яких .

3. Довести, що з висот трикутника не завжди можна утворити трикутник

4. Нехай – такий опуклий чотирикутник, що ,

. Довести, що .

5. Нехай точка перетину бісектрис ділить одну із них у відношенні , рахуючи від

вершини, іншу – у відношенні , рахуючи від вершини. Знайти косинуси кутів

трикутника.

6. Пасажир метро спускається вниз по рухомому ескалатору за 24 секунди, а по

нерухомому – за 42 секунди. За скільки секунд пасажир спуститься вниз, стоячи на

рухомому ескалаторі ?

7. Довести, що система рівнянь

не має жодного розв’язку.

8. В трикутнику одна із медіан ділить одну із висот у відношенні , рахуючи від

вершини. Довести, що трикутник рівнобічний.

9. Знайти усі пари натуральних чисел , для яких число

матиме рівно два натуральних дільники.

Журі може частково змінити оцінку кожної задачі у залежності від кількості учасників конкурсу,

які її зробили правильно.

Голова предметної комісії з математики Плахотник В.В.

Міністерство освіти і науки України

Мала академія наук

I I I етап Всеукраїнського конкурсу-захисту науково-дослідницьких робіт Секція “Математика”

10 Клас

1. Побудувати графік .

2. Довести, що з бісектрис внутрішніх кутів трикутника не завжди можна утворити

трикутник.

3. Довести, що .

4. Довести, що для довільної трикутної піраміди існує єдина точка , для якої

.

5. Серед натуральних чисел, які діляться на 11 без остачі і мають суму цифр 27, знайти

найменше число.

6. Скількома способами можна розбити на пари 16 футбольних команд ?

7. Знайти усі трійки дійсних чисел , щоб .

8. Нехай в трикутнику висоти, проведені з вершин і , ділять бісектрису,

проведену з вершини на три рівних частини. Знайти косинус кута .

9. Довжини сторін трикутника утворюють геометричну прогресію.Довести, що даний

трикутник і трикутник, утворений з його висот, подібні.

Журі може частково змінити оцінку кожної задачі у залежності від кількості учасників конкурсу,

які її зробили правильно.

Голова предметної комісії з математики Плахотник В.В.

Міністерство освіти і науки України

Мала академія наук

I I I етап Всеукраїнського конкурсу-захисту науково-дослідницьких робіт Секція “Прикладна математика”

10 Клас

1. Скільки всього 5-цифрових чисел, у яких є як цифра 1, так і цифра 2 ?

2. Зобразити на площині точки, для координат яких справджуються усі три

нерівності та .

3.Знайти найменше і найбільше значення величини , якщо .

4. Розв’язати нерівність .

5. Нехай і – середини відрізків i , – середина відрізка , – довільна

точка. Довести, що .

6. Сторони i опуклого чотирикутника рівні між собою. Довести, що прямі i утворюють рівні кути з прямою, що з’єднує середини i .

7. Площа трикутника дорівнює , а його периметр дорівнює . Довести, що

трикутник обов’язково буде правильним.

8. Кожна з п’яти труб незалежно наповнює басейн водою. Перша, друга і третя труби,

працюючи разом, наповнять басейн за 6 годин; перша, третя, четверта і п’ята – за 3 години;

друга, четверта і п’ята – за 4 години. За скільки годин наповнить басейн друга труба ?