5. Прямая и плоскость в пространстве

1. Углом между прямой и плоскостью ax + + by + cz + d = 0 называется угол , образованный направляющим вектором прямой и его проекцией на плоскости:

.

2. – условие перпендикулярности прямой и плоскости.

3. – условие параллельности прямой и плоскости.

Пример 4.19. Найти угол между прямой и плоскостью .

Решение. Направляющий вектор прямой , вектор нормали к плоскости . Поэтому

.

Следовательно, угол между прямой и плоскостью .

Пример 4.20. Найти точку пересечения прямой и плоскости:

а) и ;

б) и .

Решение. а) Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости необходимо решить систему уравнений, составленную из уравнений прямой и плоскости:

Полученная система решается очень просто. Подставляя в уравнение плоскости уравнения прямой, получаем:

Следовательно, координаты точки пересечения такие: , , , т. е. точкой пересечения данной прямой и плоскости будет точка A(3, 1, 1).

б) Вначале перейдем от канонических к параметрическим уравнениям прямой:

Далее аналогично заданию а):

Следовательно, координаты точки пересечения такие: , , , т. е. A(– 14, – 11, – 2) – точка пересечения прямой и плоскости.

Пример 4.21. Показать, что прямая параллельна плоскости 2x + y – z = 0, а прямая лежит в этой плоскости.

Указание. Если прямая параллельна плоскости, то ни одна точка прямой не принадлежит плоскости, а если прямая лежит в плоскости, то каждая точка прямой принадлежит плоскости. Этим можно воспользоваться при решении задачи.

Решение. - направляющий вектор прямой - нормаль плоскости, , следовательно, прямая параллельна плоскости. Точка прямой М₀(-1,-1,3) вне плоскости, т.к. 2·(-1) +(-1) -3 ≠ 0. Вторая прямая лежит в этой плоскости, т.к. она параллельна плоскости и ее точка М₁(-1,-1,-3) принадлежит плоскости: 2·(-1) +(-1) – (-3) = 0.

Пример 4.22. Составить общее уравнение плоскости, содержащей точку А(1; 2; 3) и перпендикулярной прямой

.

Решение.

В качестве вектора нормали плоскости можно взять любой вектор, коллинеарный направляющему вектору данной прямой. Положим, для определенности, = (4; 3; 2). Тогда общее уравнение плоскости запишется следующим образом:

4x + 3y + 2z + d = 0.

Из условия того, что точка A лежит на плоскости, находим d = − (4 · 1 + 3 · 2 + 2 · 3) = −16.

Следовательно, уравнение плоскости имеет вид:

4x + 3y + 2z – 16 = 0.

Пример 4.23. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку М(3; 4; 5).

Решение. Точка М лежит на искомой плоскости. Следовательно, уравнение искомой плоскости имеет вид a(x-3) + b(y-4) +c(z-5) = 0. Остается найти нормальный вектор . Точка А(2; 3; 4) лежит на прямой, а значит, и на плоскости. Подставим координаты точки А в уравнение плоскости: - a – b – c = 0. С другой стороны, направляющий вектор прямой перпендикулярен вектору , т.к. прямая лежит в плоскости. Следовательно, , а значит, 1· a +2· b +3· c = 0. Остается решить систему уравнений

.

Получаем b + 2c = 0. Возьмем с=1, тогда b=-2, а из второго уравнения системы имеем a=1. Подставляя найденные значения a, b, c в уравнение плоскости, получаем x - 2y + z = 0.

Пример 4.24. Найти проекцию точки М(3; 1; -1) на плоскость x + 2y + 3z -30 = 0. (рис. 4.9)

М(x,y) – точка вне плоскости;

L – прямая, проходящая через точку М перпендикулярно плоскости Р;

M₀ - проекция M₁ на плоскость Р, точка пересечения прямой L и плоскости Р;

L₁N – наклонная плоскости Р;

N – точка ее пересечения с плоскостью Р;

L₂N – проекция наклонной L₁N на плоскость Р.

Рис. 4.9. Проектирование точки и прямой на плоскость

Решение. Нужно найти координаты точки М₀, т.е. основание перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость Р. Составим параметрические уравнения прямой L (по условию L ┴ P.). Для этого возьмем и используем координаты точки М.

Получаем x = t + 3, y = 2t + 1, z = 3t – 1.

Решая систему

получаем t + 3 + 4t + 2 + 9t – 3 – 30 = 0, 14t = 28, t = 2.

Тогда x = 2 + 3 = 5, y = 2 · 2 + 1 = 5, z = 3 · 2 – 1 = 5, т. е. М₀(5; 5; 5).

Пример 4.25. Найти уравнение проекции прямой

на плоскость 2x + 3y – 4z – 5 = 0.

Решение. Данная прямая проходит через точку М₀(1,-2,2) и - ее направляющий вектор. Плоскость, проектирующая данную прямую на данную плоскость, проходит через точку М₀ и имеет нормаль , где - нормаль данной плоскости.

Находим: (-12+3, 8-2, 0) = (-9, 6, 0).

Уравнение проектирующей плоскости:

-9(x-1) +6(y+2) + 0(z-2) = 0,

9x – 6y + 21 = 0, 3x – 2y + 7 = 0.

Проекция данной прямой на данную плоскость является пересечением проектирующей плоскости с данной плоскостью. Следовательно, ее уравнение имеет вид

.

Пример 4.26. Найти угол между прямой и плоскостью .

Решение. Направляющий вектор прямой , вектор нормали к плоскости . Поэтому

.

Следовательно, угол между прямой и плоскостью .

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения / Л.И.Головина. – М.: Наука, 1985. – 324 с.

2. Грисенко М.В. Математика для економістів: Навчальний посібник. – К.: Видавничо-поліграфічний центр „Київський університет”, 2005. – 586 с.

3. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для студентов вузов / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Высш. шк., 1986. – Ч. 1. – 304 с.

4. Калихман И. Л. Линейная алгебра и программирование / И. Л. Ка-лихман. – М.: Высш. шк., 1967. – 188 с.

5. Михайленко В.Г., Матряшин Н.П. Линейная алгебра. Учебный материал. – Х: ХГУ, 1993. – 140 с.

6. Михайленко В.Г., Свіщова Є.В. Лінійна алгебра. Учбові завдання та методичні вказівки для студентів економічних спеціальностей.

7. Травкін Ю.І. Лінійна алгебра і аналітична геометрія: Навчальний посібник. – Х.: Майдан, 2009. – 416 с. Укр. мова.

8. Сенченко Д.В., Слепак Б.Э., Черемных Ю.Н. Высшая математика. Линейная алгебра: Метод. указания для студентов-заочников эконом. фак. гос. ун-тов. –М.: Изд-во Моск. ун-та. 1987. – 67 с.

9. Тевяшев А.Д. Высшая математика. Общий курс: Сб. задач и упражнений / А.Д.Тевяшев, О.Г.Литвин. – Х.: Рубикон, 1999. – 320 с.