66. Линейная балансовая модель. ( Модель Леонтьева)

Пусть   экономическая  система   состоит  из  n отраслей.  Обозначим через   вектор валовой продукции системы, а через  – вектор ее конечной продукции. Тогда система уравнений материального баланса при условии линейности функций производственных издержек имеет вид

или в векторно-матричной форме

(9.1)

Матрицу  называют матрицей прямых затрат, или технологической матрицей. Важной ее особенностью  является неотрицательность ее коэффициентов. Технологическая матрица А содержит всю необходимую информацию для составления системы уравнений балансовой модели. Коэффициенты  называются коэффициентами прямых затрат. Они представляют собой затраты продукции i-й отрасли на изготовление единицы валовой продукции  j-й отрасли. Будем считать, что . В соответствии с предположением о комплектности потребления эти количества определяются однозначно. Уравнения (9.1) называются моделью Леонтьева.

Как известно, необходимым и достаточным условием существования и единственности решения системы уравнений (9.1) при любом векторе у является невырожденность матрицы (Е – А); тогда матрица (Е – А) имеет обратную матрицу  и решение  определяется соотношением

    .                                         (9.2)

Однако в данном случае задача исследования усложняется, так как для того чтобы решение х имело экономический смысл, оно должно быть неотрицательным. Заметим, что далеко не при любой неотрицательной матрице  система уравнений (9.1) имеет неотрицательное решение. С экономической точки зрения особый интерес представляют системы, которые имеют неотрицательное решение при любом векторе , так как в практике планирования вектор конечной продукции задается плановым органом более высокого, нежели рассматриваемая экономическая система, уровня, а такой плановый орган не знает достаточно точно матрицу А и не может «подбирать» задание под конкретную матрицу.

Таким образом, исследование балансовых уравнений вида (9.1) сводится к установлению условий, которым должна удовлетворять неотрицательная матрица А, для того чтобы существовало неотрицательное решение этой системы при любом векторе .

Назовем матрицу  продуктивной, если существует хотя бы один положительный вектор , для которого  или . В этом случае модель Леонтьева называется продуктивной. Это определение имеет простой экономический смысл: матрица  продуктивна, если существует такой план , что каждый объект может произвести некоторое количество конечной продукции.

Теорема 9.1 (о существовании и единственности решения системы балансовых уравнений). Продуктивность матрицы  является необходимым и достаточным условием существования, единственности и неотрицательности решения системы уравнений

при  любом  неотрицательном  векторе  ,   которое   можно   записать в виде

.

Данная теорема показывает, что при расчете плана по балансовой модели необходимо заранее знать, является ли технологическая матрица А продуктивной.

Теорема 9.2. (критерий   продуктивности).   Матрица  продуктивна тогда и только тогда, когда матрица  существует и является неотрицательной.

Экономический смысл элементов матрицы  заключается в следующем: элемент  равен количеству продукции, которое должен выпустить объект , для того чтобы объект  мог выпустить одну единицу конечной продукции (а не полного выпуска). В связи с этим элементы  носят название коэффициентов полных затрат, а матрица S – матрицы коэффициентов полных затрат.

Приведем еще один достаточный признак продуктивности модели Леонтьева, наиболее удобный для проверки продуктивности матрицы межотраслевого баланса  в натурально-стоимостной форме.

Теорема 9.3. Если матрица А = () неотрицательна, сумма элементов каждой строки не больше единицы и хотя бы для одной строки строго меньше единицы, то модель Леонтьева, определяемая матрицей А, продуктивна.

Таким образом, матрица А продуктивна, если ³ 0 для любых i, j = 1, 2, …, n,  (i = 1, 2, …, n) и существует номер  такой, что .

Очевидно, что коэффициенты  полных затрат всегда меньше, а могут быть и существенно больше соответствующих коэффициентов  прямых затрат, поскольку, во-первых, коэффициенты  указывают не только непосредственные поставки продукции объекта Pi объекту Pj, но и поставки продукции объекта Pi другим объектам, для того чтобы последние в свою очередь могли поставить объекту Pj требуемое количество их продукции, и во-вторых, при вычислении коэффициентов S ij берется отношение суммы поставок продукции объекта Pi всем объектам к величине конечной продукции объекта Pj, а эта величина меньше полного выпуска  продукции  объекта Pj.

Матрица  носит название матрицы косвенных затрат, а элементы этой матрицы – коэффициенты косвенных затрат.