Достаточное условие экстремума.

Пусть функция определена в критической точке x₀ и дифференцируема в некоторой окрестности этой точки, за исключением, может быть, самой x₀. Если «при переходе» через точку x₀ слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то x₀ – точка максимума; с минуса на плюс – точка минимума.

Доказательство:

Пусть производная меняет знак с «+» на «-».

Тогда слева от х₀, т.е. на (х₀-δ,х₀) .

Þ слева от х₀ функция возрастает.

Справа от х₀, т.е. на (х_0, х₀+δ) .

Þ справа от х₀ функция убывает.

Т.о. в окрестности точки х₀ выполняется

неравенство .

х₀ – точка локального максимума.

Аналогично доказывается для минимума.

Ч.т.д.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Пусть функция определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a;b] и имеет внутри этого промежутка конечную производную.

Тогда по второй теореме Вейерштрасса она на этом отрезке принимает свои наибольшее и наименьшее значения.

Очевидно, что эти значения могут достигаться либо в критических точках, либо на концах отрезка.

Поэтому для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции применяют следующий алгоритм решения:

1. Находим критические точки функции. Отбираем те точки, которые принадлежат данному отрезку.

2. Вычисляем значения функции в найденных точках.

3. Вычисляем значения функции на концах отрезка.

4. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее.

Признак выпуклости.

Пусть функция имеет на интервале (a;b) непрерывную производную второго порядка. Если , то функция выпукла на промежутке (a;b). Если , то функция вогнута на промежутке (a;b).

Доказательство:

Пусть для определенности на (a;b) .

Возьмем точку x₀(a;b) и составим уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀:

(1)

Разложим функцию в окрестности точки x₀ по формуле Тейлора, причем возьмем два члена разложения и остаточный член:

, (2)

Вычтем (2) - (1):

.

на (a;b) .

График функции проходит над касательной.

Тогда по определению: функция выпукла.

Вогнутость доказывается аналогично.

Ч.т.д.

Замечание: Условие ( ) является не только достаточным, но и необходимым для выпуклых (вогнутых) функций.

Определение: Точка, отделяющая промежуток выпуклости функции от промежутка ее вогнутости, называется точкой перегиба.

Необходимые условия существования точки перегиба функции.

Пусть функция в точке x₀ имеет точку перегиба. Если в этой точке существует производная второго порядка, то она обращается в ноль или не существует.

Точки перегиба следует искать среди точек, вторая производная которых равна нулю (y=0) или не существует. Такие точки называются критическими точками второго рода.

Достаточное условие точки перегиба функции.

Пусть непрерывна в окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки . Если «при переходе» через меняет знак, то точка — точка перегиба.

Доказательство:

Пусть «при переходе» через точку меняет знак с «+» на «-».

Тогда слева от точки — функция выпукла, а справа — вогнута. Тогда по определению: точка — точка перегиба.

Ч.т.д.