Пример. Пусть

—

матрица линейного оператора в некотором базисе. Найти канонический базис относительно и матрицу в этом базисе.

Решение. Так как

,

, то — нильпотентный оператор индекса 3. Строим подпространства .

,

Находим систему векторов, дополняющую базис до базиса . Она будет состоять из одного вектора, так как . Вектор и, значит, будет искомым. Находим . Так как , то вектор дополняет базис до базиса . Находим . . Так как , то ищем вектор такой, что система дополняет базис до базиса , т.е. такой, что система является базисом . Очевидно, вектор является искомым. Следовательно, система - искомый канонический базис. Матрица оператора в этом базисе равна

.

Иногда достаточно знать матрицу нильпотентного оператора в каноническом базисе, не находя самого базиса. Ответ на такой вопрос дает

Теорема 2. Пусть — жорданова нормальная форма матрицы нильпотентного оператора — число всех клеток Жордана, стоящих “на диагонали” матрицы — число всех клеток Жордана порядка , стоящих “на диагонали” матрицы .

Тогда

1. .

2. 

3. Максимальный размер клеток Жордана матрицы равен индексу нильпотентности оператора .

Доказательство. Заметим, что в жордановой нормальной форме матрицы линейного оператора на диагонали стоят собственные значения этого оператора вместе с их кратностями и только они. Так как в каноническом базисе (3), построенном в доказательстве теоремы I, матрица оператора жорданова и состоит из клеток Жордана с нулем на диагонали, то все собственные значения оператора равны нулю. Поэтому матрица содержит лишь клетки Жордана с элементом 0 на диагонали, т.е.

.

Очевидно, ранг матрицы равен . Так как ранг линейного оператора совпадает с рангом его матрицы, то . Отсюда

. Заметим, что дефект нильпотентного оператора равен максимальному числу линейно независимых собственных векторов этого оператора.

Далее, непосредственные вычисления показывают, что

,

,

Если теперь - максимальный порядок клеток Жордана матрицы , то . В силу равносильности равенств и получаем, что совпадает с индексом нильпотентности оператора . Следовательно, матрица подобна

Очевидно, .

Тогда для

.

Если , то .

Значит,

.

и т.д.

Равенства и доказывают утверждение 2 и вместе с ним теорему.

Следствие. Жорданова нормальная форма матрицы нильпотентного оператора определена однозначно с точностью до порядка следования диагональных клеток.

Обратимся к примеру, рассмотренному выше.

Так как индекс нильпотентности равен , то жорданова нормальная форма матрицы содержит по меньшей мере одну клетку Жордана порядка . В силу того, что порядок матрицы равен , такая клетка будет точно одна. Следовательно, будет содержать еще одну клетку порядка I, т.е.

.

Если заранее известно, что - матрица нильпотентного оператора (критерий нильпотентности оператора будет получен ниже) и неизвестен индекс нильпотентности, то можно использовать в решении утверждения I и 2 теоремы 2. В нашем случае имеем: число всех диагональных клеток матрицы равно . Число диагональных клеток первого порядка равно:

.

Следовательно, будет содержать еще одну клетку порядка 3, так как порядок матрицы равен 4.

Замечание. Для , достаточно знать количество клеток Жордана в жордановой нормальной форме, для этого недостаточно только в случае, если количество клеток равно 2. В этой ситуации достаточно выяснить или нет: если , то жорданова нормальная форма состоит из двух клеток второго порядка, если , то жорданова нормальная форма состоит из одной клетки первого порядка и одной — третьего.