2. Основні правила диференціювання

Теорема 1. Похідна сталої дорівнює нулю, тобто якщо у = с, де с = const, то .

Теорема 2. Похідна алгебраїчної суми скінченної кількості диференційовних функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій: .

Теорема 3. Похідна добутку двох диференційовних функцій дорівнює добутку першого множника на похідну другого плюс добуток другого множника на похідну першого:

.

Теорема 4. Сталий множник можна виносити за знак похідної:

, де .

Теорема 5. Якщо чисельник і знаменник дробу диференційовні функції (знаменник не перетворюється в нуль), то похідна дробу також дорівнює дробу, чисельник якого є різницею добутків знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадратом знаменника початкового дробу .

Приклад. Обчислити похідну для функції у = tg x.

Таким чином, .

Похідна складної функції. Нехай у = f (u), де , тобто . Функція f (u) називається зовнішньою, а функція — внутрішньою, або проміжним аргументом.

Теорема 6. Якщо у = f (u) та — диференційовні функції від своїх аргументів, то похідна складної функції існує і дорівнює .

Таким чином, похідна складної функції дорівнює добутку похідної зовнішньої функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу за незалежною змінною.

Похідна неявної функції. Нехай рівняння F (x; y) = 0 визначає у як неявну функцію від х. Надалі будем вважати, що ця функція — диференційовна.

Продиференціювавши за х обидві частини рівняння F (x; y) = 0, дістанемо рівняння першого степеня відносно . З цього рівняння легко знайти , тобто похідну неявної функції.

Приклад. Знайти з рівняння .

 Оскільки у є функцією від х, то у² розглядатимемо як складну функцію від х, тобто .

Продиференціювавши по х обидві частини заданого рівняння, дістанемо . Звідси .

3. Похідні від основних елементарних функцій

За аналогією з попередніми прикладами можна дістати похідні від основних елементарних функцій:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. .

Продиференціювати подані далі функції.

Приклад. .

 Дана функція є алгебраїчною сумою функцій, тому використовуємо теорему 2:

.

У здобутому виразі перший доданок алгебраїчної суми є добуток сталої величини на степеневу функцію  — застосуємо до нього теорему 4 і формулу (2) таблиці похідних; другий — ірраціональна функція з показником — застосуємо формулу (2) таблиці похідних; третій — логарифмічна функція з основою е  — використаємо формулу (5):

.

4. Похідні вищих порядків

Похідна від функції називається похід- ною першого порядку і являє собою деяку нову функцію. Мож­ливі випадки, коли ця функція сама має похідну. Тоді по- хідна від похідної першого порядку називається похід- ною другого порядку від функції і позначається .

Похідна від похідної другого порядку називається похід­ною третього порядку і позначається , .

Похідна від похідної (n – 1)-го порядку називається похідною n-го порядку і позначається .

Таким чином,

Приклад. Знайти похідну третього порядку для функції .

