8. Условия корней многошаговых методов

Рассм. задачу Коши:

На [a,b] введём равномерную сетку

Рассмотрим m-шаговый метод решения задачи (1): ;(3) n=m,m+1…

При подстановке точного решения получим: ;(4) где -погрешн на одном шаге.

погрешность найденого приближенного значения в точке . Получим уравнение дл погрешности : (5)

Обозначим и

Перепишем 5 в виде (6)

Добавим след соотнош: ;…; . Соотн 6 и 7 переп в виде: (8); ; ; ; - m-векторы ; - форма Фробениуса. Нач вектор ;Заметим что компаненты ветора представляют собой погрешности полученные в результате примен одношагового метода для нахож разгонных значений для ф-лы (3). Сис-ма (8) называется конанической формой для погрешности метода (3).

- характ многочлен метода 3.

В первой строке S стоят коэф харак многочлена, то характ ур матр S (или метода 3) имеют вид ; (9). Предположим что среди корней ур-я 9 есть , что . – собств вектор м-цы S, соотв .

Рассмотрим решение однор системы 8 если при вычисл разгонных значений, если погрешность параждающая приминением одношагового метода совпадает с коэф

;…; …

Т.о. при возрастании К общее решение ур-я 8 будет содержать быстро растущие по норме слагаемые. погрешность с возрастаним К будет увеличиваться.Значение наден по формуле 3 будет весьма чувств к погрешн начальных данных, а сами вычисление не устойчивыми.

Рассмотрим случай когда среди корней ур-я 9есть корень такой что , но его кратность больше 1. Поскольку

; (вторая и далее строки линейн не зависимы).В Жардановой форме м-цы S жардан клетка соотв указан будет иметь размер . размер жардан клетки = 2 и имеет вид .

Общее реш ур-я 8 будет содержать слагаемое, чать компанент которого быстро растёт по модулю с возраст n. значит в рассм случае вычисл по (3) также неутсойчив. Необх условия устойчивости: среди корней характ ур-я9 нет корней по модулюравный превосходящих 1и нет кратных 1. Если это условие выполняется для 3, то говорят чо 3 удовл условию корней.

Лемма: пусть метод (3) удовл условию корней. тогда сущ-ет мартичн норма подчинен соотв векторной норме, что норма

9. Cходимость многошаговых методов

Рассмотрим задачу Коши , (1) и (2). На введем сетку , , . Пусть для численного решения задачи (1), (2) используется m-шаговый метод

, (3)

Теорема. Пусть функция непрерывна по переменной и ограничена по Липшицу по переменной , если многошаговый метод (3) удовлетворяет условию корней, то существуют постоянные и , что (4).

Док-во. Если многошаговый метод удовлетворяет условию корней, то справедлива .(5) Далее в пространстве все нормы эквивалентны, так как конечномерное пространство. Поэтому существует постоянные и B, что

(6) для любого вектора . Из (11) имеем

(7). Функция ограничена по Липшицу, поэтому существует постоянная , что . В силу этого . Используя эту оценку, неравенство (6), (7), преобразуем в (5) так: .

Из последнего неравенства имеем:

, (8) если , где , . Заметим, что если многошаговый метод (3) является явным, то и значит оценка (8) справедлива для .

Используя рекурсию, преобразуем (8) следующим образом .

В последнем неравенстве положим ,

(14).

Из (9) получаем оценку (10).

Используя очевидные неравенства имеем , если .

Используя последнюю оценку и (6) получим или (16). Таким образом , . Доказано.

Следствие. Пусть , , при . Тогда многошаговый метод (3) сходится, и при том равномерно.