Параболічна інтерполяція за схемою Ейткіна

Якщо функція f задана в двох точках і значеннями і , то для обчислення її значення в точці можна скористатися формулою лінійної інтерполяції. Позначимо значення функції в точці х через , формулу можна представити у такому вигляді:

де в правій частині коштує визначник 2-го порядку. Крім того

Хай функція f задана в трьох точках , , ,, своїми значеннями , , , потрібно обчислити її значення в точці . В цьому випадку по схемі Ейткіна в точці х обчислюють спочатку значення двох лінійних поліномів

а потім значення квадратичного поліному вигляду:

Безпосередньою підстановкою переконуємося, що

Покажемо ще, що співпадає з формулою Лагранжа для трьох вузлів інтерполяції. Оскільки

то, розкриваючи визначника, отримуємо:

Ця схема узагальнюється на вищі ступені. Якщо функція f задана в четверо крапках, то кубічна інтерполяція виконується по формулі

де і - значення квадратичних поліномів в точці - Безпосередньою перевіркою переконуємося, що і . Крім того , співпадає з кубічним інтерполяційним поліномом Лагранжа.

Взагалі, якщо в (п + 1) -і точці функція f приймає значення то значення інтерполяційного поліному Лагранжа ступеню п в точці можна обчислити за формулою

де і - значення інтерполяційного поліномів, обчислених в точці х на попередньому кроці. Ясно, що для обчислення значення поліному ступеня п в точці х необхідно по схемі Ейткіна обчислити в цій точці значення п лінійних, n-1 квадратичних, п-3 кубічних поліномів і так далі, два поліноми ступеня п-1 і, врешті-решт, один поліном ступеня n. Всі ці поліноми виражаються через визначника 2-го порядку, який робить обчислення однаковими. Легко переконатися в тому, що і що співпадає з формулою Лагранжа

За допомогою схеми Ейткіна обчислити з табличною точністю значення функції sin(х) в точці х =0,47, якщо функція задана таблично:

Обчислення продовжувати до тих пір, поки не значення двох послідовних поліномів.

Маємо:

Оскільки то добавляємо вузол і обчислюваний додатково

І в цьому випадку тому добавляємо вузол і обчислюємо додатково

Оскільки то шукане значення функції sin 0,47 = 0,45289, що співпадає з табличним значенням. Це підтверджується також обчисленням значення полінома четвертого ступеня

тобто

Таким чином, в схемі Ейткіна нові вузли поступово привертають до обчислення до тих пір, поки не буде досягнута необхідна точність.

Під кінець відмітимо, що схема Ейткіна застосовна і у разі вузлів інтерполяції, які не рівновіддалені.

Список літератури

1 Григоренко Я.М., Панкратова Н.Д. Обчислювальні методи в задачах прикладної математики Навч. посібник.-К.: Либідь, 1995-280с.

2 Маликов В.Т., Кветный Р.Н.Вычислительные методы и применение ЭВМУчеб. пособие. - К.: Высшая школа, 1989.- 213 с.

3 Козин А.С., Лященко Н.Я. Вычислительная математика Пособие для факультативных занятий в !0 классе. - К.: Радянська школа, 1968. - 191 с.

6 Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математикеУчеб. пособие для техникумов.- М.: Высшая школа, 1990 .- 208 с.

Таблиця 1 – Результати розрахунку

0,8902	1,23510				-0,0023
0,8909 0,8919 0,8940 0,8944 0,8955	1,23687 1,23941 1,24475 1,24577 1,24858	1,240916 1,240934 1,240936 1,240925 1,240916	1,240940 1,240935 1,240933 1,240934	1,240937 1,240934 1,240933	-0,0016 -0,0006 0,0015 0,0019 0. 0030

З порівняння отриманих результатів маємо f(0,8925)=1,24093.