2. Распространение звука в веществе

2.1. Плоская ультразвуковая волна, движущаяся по направлению х, описывается формулой

у = А sin (ωt – kx), (5)

где у - смещение колеблющихся частиц, А - амплитуда смещения, ω - круговая частота колебаний, t - время, k - волновое число. Вынося k за скобку, получим

у=А sin [k(v·t – x)]. (6)

В этой формуле величина

v = ω/k (7)

определяет скорость ультразвука в упругой среде. В обычных условиях скорость ультразвука не зависит ни от амплитуды, ни от частоты колебаний. Скорость ультразвука в воздухе составляет около 330 м/с, в воде – 1500 м/с, в кварце – 5700 м/с, в стали – 6000 м/с.

Скорость движения частиц в среде не имеет ничего общего со скоростью распространения ультразвука. Скорость частиц можно найти, дифференцируя (5) по времени:

V_част = Аω cos (ωt – kx). (8)

Как показывает формула (9), скорость частиц гармонически зависит от времени. Амплитуда их колебаний равна Аω. Найдем кинетическую энергию, отнесенную к единице объема колеблющейся среды:

Е_кин = ½ρV²_част = ½ρ(Аω)²cos²(ωt – kx). (9)

При гармонических колебаниях потенциальная энергия волны в среднем равна кинетической. Сумма этих энергий – полная энергия, отнесенная к единице объема (плотность энергии), равна

Е_полн = Е_кин + Е_пот = ½ρ(Аω)². (10)

Здесь мы учли, что среднее значение квадрата от косинуса равно ½. Эта энергия движется вместе с волной, т. е. перемещается со скоростью v. Поток энергии, пересекающий единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны, равен

J = ½ρv(Аω)². (11)

Входящая в эту формулу величина ρ·v называется акустическим сопротивлением среды.

2.2. Исследуем прохождение ультразвуковой волны через границу раздела двух упругих сред. При нормальном падении волны на такую границу в первой среде, кроме падающей волны:

y_пад = А sin (ωt - k₁x). (12)

возникает отраженная волна, движущаяся навстречу падающей:

y_отр = В sin (ωt - k₁x). (13)

Во второй среде распространяется преломленная волна

y_прел = D sin (ωt – k₂x). (14)

Найдем коэффициент отражения на границе. Приравнивая смещения частиц слева и справа от границы, найдем

А sin (ωt - k₁x) + B sin (ωt - k₁x) = D sin (ωt - k₂x).

Пусть граница расположена при x = 0. Полагая x = 0 и сокращая

равенство на sin ωt, найдем

A + B = D. (15)

Приравняем теперь поток энергии в падающей волне сумме потоков в преломленной и отраженной волнах:

½ρ₁v₁(Аω)² = ½ρ₁v₁(Вω)² + ½ρ₂v₂(Dω)²

Введем обозначение:

R = ρ₁v₁/ρ₂v₂ . (16)

Величина R равна отношению акустических сопротивлений соседних сред. Наша формула при этом приобретает вид

R (А² - В²) = D².

Деля это равенство на (16), найдем

R (A - B) = D. (17)

Система уравнений (16) и (18) дает

(18)

Формулы (18) определяют отражение и преломление на границе. Коэффициентом отражения волны называют отношение потоков энергии в отраженной и в падающей волне. Формулы (11) и (18) дают

. (19)

Формула (19) показывает, что коэффициенты отражения при переходе ультразвука из первой среды во вторую и из второй в первую равны друг другу.

Например. Волна распространяется из воды в сталь. ρ_воды = 1000 кг/м³, ρ_стали = 7800 кг/м³, v_воды = 1480 м/с, v_стали = 5100 м/с. R = 0.037. Из (18) В = - 0.92А. При переходе ультразвуковой волны из воды в сталь обратно в воду отражается 92 % энергии волны и только 8% проходит дальше. На границе сталь воздух отражается 99.9 % энергии волны. При переходе из стали в дерево R составит 14 (ρ_дерева = ~ 700 кг/м³, v_дерева ~ 4000 м/с), тогда обратно в сталь отразится 86% энергии волны. Таким образом, если волна возбуждается в стальной болванке, которая лежит на деревянном столе, то большая часть энергии волны отразится обратно в металл. Причем если болванка имеет форму правильного параллелепипеда, то волна будет отражаться от граней пробегая туда и обратно в металле несколько раз пока не затухнет.

Ультразвуковая волна, проходя через среду, испытывает затухание. Амплитуда колебаний в плоской волне уменьшается с расстоянием по экспоненциальному закону

А = А₀ ехр (-α·х). (20)

Коэффициент α носит название коэффициента затухания. Так как интенсивность колебаний пропорциональна квадрату амплитуды, то

J = J₀ ехр (–2αх). (21)

Затухание ультразвука является следствием того, что часть энер­гии поглощается веществом, превращаясь в тепловую энергию. В жидкостях и газах поглощение обусловливается в основном вязкостью и теплопроводностью среды. Как видно из (8), в один и тот же момент времени различные элементы среды имеют разные скорости. Это различие приводит к появлению сил вязкости, аналогичных трению. Разная степень сжатия различных участков волн приводит к появлению температурного распределения в среде. Возникающая при этом теплопроводность также приводит к уменьшению энергии волны.

Коэффициент затухания α связан с коэффициентами вязкости η и теплопроводности ξ.

(22)

где с_р - удельная теплоемкость при постоянном давлении.

В твердых телах на затухание ультразвука оказывает влияние структура вещества. В однородных аморфных средах и в монокристаллах затухание определяется, в основном, теплопроводностью и вязкостью. В поликристаллических средах, состоящих из большого числа мелких кристаллов, затухание ультразвука существенно зависит от отношения между длиной волны λ и размерами кристалликов d. При λ > d поглощение обуславливается главным образом теплопроводностью, а при λ < d – вязкостью среды. В обоих случаях затухание пропорционально квадрату частоты ультразвука. В тех случаях, когда λ и d соизмеримы, преобладает диффузное рассеяние ультразвука на неоднородностях поликристалла, и затухание оказывается пропорциональным √ω. Экспериментальные данные о затухании ультразвука позволяют, таким образом, судить о структуре вещества.

Приблизительно скорость звука в веществе можно определить из выражения (1), зная макроскопические параметры.

Например. Скорость звука в воздухе при 20˚С равна 3,44·10⁴ см/сек, в таких условиях при частоте звука частота 34,4 кГц длина волны в воздухе составит 1 см. Ультразвук быстро затухает в воздухе. Жидкие и твердые вещества имеют большую скорость распространения звуковых волн. Скорость звука в воде при 25˚С равна 1497 м/с. Для стального стержня можно получить из (1) и данных таб. 1: v = (Е_ю/ρ)^1/2 ~ (20·10¹⁰/7800)^1/2 = 5060 м/с. Справочное значение 5050 м/с.

При частоте ультразвука f = 34 кГц длина акустической волны для стали составит λ = v/f ~ 15 см. Для того чтобы на длине образца уложилась хотя бы одна длина волны размеры образца должны быть больше 15 см или частота ультразвука выше 34 кГц. Поэтому частота ультразвука для исследования твердых тел обычно лежит в диапазоне частот выше 100 кГц, а для исследования тонких пленок требуются частоты до десятков ГГц. В твердых телах и жидкостях ультразвук затухает слабо. Для получения механических колебаний с высокими частотами, иначе генерации ультразвука, используют пьезоэлектрические или магнитострикционные преобразователи электромагнитных колебаний в механические колебания.