Співвідношення для заміни похідних різницями

№ пор.	Неперервна функція	Дискретна функція
1 2 k	Перша похідна Друга похідна … Похідна k-го порядку	Різниця першого порядку Різниця другого порядку … Різниця k-го порядку

Дискретне перетворення Фур'є (ДПФ) (англ.. DFT, Discrete Fourier Transform) – це пара взаємно однозначних перетворень – дискретних рядів Фур'є, являється одним з перетворень, яке широко застосовуваних у алгоритмах цифрової обробки сигналів (його модифікації застосовуються в стисненні звуку в MP3, стиснення зображень в jpg, тощо), а також в інших областях, пов'язаних з аналізом частот в дискретному (наприклад, оцифрованому аналоговому) сигналі.

Дискретне перетворення Фур'є вимагає для входу дискретну функцію. Такі функції часто створюються шляхом дискретизації (вибірки значень з безперервних функцій). Дискретні перетворення Фур'є допомагають вирішувати приватні диференціальні рівняння і виконувати такі операції, як згортки. Дискретні перетворення Фур'є також активно використовуються в статистиці, при аналізі часових рядів. Перетворення бувають одномірні, двовимірні і навіть тривимірні.

Формули перетворень:

Пряме перетворення:

де k – дискретна нормована частота ,  – період дискретизації за частотою, N – точкова послідовність – періодична послідовність з періодом N в області дискретного нормованого часу;

Зворотне перетворення:

де n – дискретний нормований час , N – періодична послідовність з періодом N в області дискретного нормованого часу.

Позначення:

N – кількість значень сигналу, виміряних за період, а також кількість компонентів розкладу;

– Виміряні значення сигналу (в дискретних тимчасових точках з номерами , які є вхідними даними для прямого перетворення і вихідними для зворотного;

– N комплексних амплітуд синусоїдальних сигналів, що складають вихідний сигнал; є вихідними даними для прямого перетворення і вхідними для зворотного; оскільки амплітуди комплексні, то вони позначають одночасно і амплітуду та фазу;

– звичайна (речова) амплітуда k-го синусоїдальної сигналу;

arg (X_k) – фаза k-го синусоїдальної сигналу (аргумент комплексного числа);

k – частота k-го сигналу, рівна , Де T – період часу, протягом якого бралися вхідні дані.

З останнього видно, що перетворення розкладає сигнал на синусоїдальні складові (які називаються гармоніками) з частотами від N коливань за період до одного коливання за період. Оскільки частота дискретизації сама по собі дорівнює N відліків за період, то високочастотні складові не можуть бути коректно відображені - виникає муаром ефект. Це призводить до того, що перша половина з N комплексних амплітуд, фактично, є дзеркальним відображенням друга і не несе значного сенсу.