Проверка части с Задание с1 № 484547

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Уравнение решено верно	2
Корни числителя найдены верно, но само уравнение решено неверно	1
Все прочие случаи	0
Максимальный балл	2

Решение.

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю и не теряет смысла. Поэтому данное уравнение равносильно системе:

Решив уравнение системы как квадратное относительно , находим либо . Если , то и условие выполняется. Следовательно, . Если , то . В этом случае с учетом неравенства системы получаем, что из двух точек единичной окружности, соответствующих решениям уравнения , нужно оставить только ту, для которой . Это точка четвертой четверти, и решение уравнении имеет вид

.

Ответ: ; .

Задание с2 № 484565

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Решение.

Пусть точка O — центр основания, а M — середина ребра AS. Поскольку и плоскость SAC перпендикулярна прямой BD. Это значит, что плоскость SAC и есть плоскость, проходящая через точку A перпендикулярно BD.

Проведем отрезки MD и MO. Так как треугольник SAD правильный, Так как треугольник ASO — равнобедренный, Следовательно, искомый угол равен углу OMD. Найдем стороны треугольника OMD:

.

По теореме косинусов:

.

Отсюда .

Ответ: .

Задание с3 № 484601

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах системы неравенств	2
Обоснованно получен верный ответ в одном из неравенств системы неравенств	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Решение.

По смыслу задачи , откуда .

При этих значениях переменной: имеем: .

Тогда:

.

Ответ: .

Задание с4 № 500349

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ	3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины	2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Решение.

Р ассмотрим равнобедренный треугольник , в котором , Пусть — высота треугольника . Тогда — середина .

Обозначим Тогда , ,

Предположим, что окружность радиуса с центром вписана в угол и касается основания в точке , а окружность того же радиуса с центром вписана в угол , касается основания в точке , а первой окружности — в точке . Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому

, а

Из прямоугольного треугольника находим: . Тогда .

Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому , значит, , поскольку — прямоугольник. Следовательно,

, откуда находим .

П усть теперь окружность радиуса с центром вписана в угол и касается боковой стороны в точке , вторая окружность радиуса с центром вписана в угол , касается боковой стороны в точке , а также касается первой окружности. Из прямоугольных треугольников и находим:

, .

Следовательно,

,

откуда находим .

В случае, когда окружности вписаны в углы и , получим тот же результат.

Ответ: 23 или 20.