2. Некоторые принципы принятия решений в задачах исследования операций

2.1. Задачи принятия решений. Определение

Полезности

Ситуация принятия решения (проблемная ситуация) имеет место тогда, когда выполняются четыре условия.

1. Существует субъект (лицо, принимающее решение (ЛПР), или эксперт), связанный с внешней средой (внешняя среда определяется значениями неуправляемых переменных), перед которым стоит некоторая цель или несколько целей.

2. В распоряжении субъекта (ЛПР или эксперта) имеются стратегии достижения целей. Стратегии – это различные варианты достижения целей (альтернативные решения). Стратегии определяются значениями управляемых переменных.

3. Существуют результаты (исходы решений) реализации стратегии. Каждой стратегии соответствуют вероятности получения результатов, причем эти вероятности для различных стратегий должны быть различны, т.е. хотя бы для некоторых j.

4. Существуют полезности j-го результата при i-й стратегии.

Перед ЛПР стоит задача выбора наилучшей (в смысле используемого критерия (критериев) эффективности) стратегии.

В зависимости от числа используемых для выбора стратегии критериев различают: а) задачи принятия решений при одном критерии (однокритериальные задачи принятия решений); б) задачи принятия решений при нескольких критериях (многокритериальные задачи принятия решений).

В зависимости от степени информированности ЛПР различают: а) задачи в условиях определенности (детерминированные задачи); б) задачи в условиях риска (вероятностные задачи); в) задачи в условиях неопределенности (неопределенные задачи).

Детерминированные задачи возникают в ситуациях, когда каждая выбираемая ЛПР стратегия приводит к единственному результату.

Вероятностные задачи возникают в ситуациях, когда с каждой выбираемой ЛПР стратегией связано некоторое множество возможных результатов, вероятности достижения которых известны или могут быть оценены.

Неопределенные задачи возникают в ситуациях, когда ЛПР не знает и не может оценить вероятностей получения результатов при выборе той или иной стратегии.

Для принятия решения необходимо установить меру полезности тех или иных результатов (тех или иных исходов решения). На практическом занятии рассматриваются два метода определения полезности результатов.

Первый метод можно применять к результатам, оцениваемым количественно. Он основан на допущении, что если «чистая» полезность результата О равна u, а вероятность его получения равна p, то общая полезность результата в такой ситуации равна pu. Иначе говоря, безразлично, какой получится результат: с полезностью pu или с полезностью u при вероятности p.

Алгоритм определения полезности по указанному методу заключается в следующем:

1. Упорядочивают (с помощью ЛПР или эксперта) все результаты по убыванию их предпочтительности. Пусть – наиболее, а – наименее предпочтительный (ценный) результат, т.е.

здесь – знак предпочтительности.

2. Определяют такую вероятность p₁, при которой результат O₁, получаемый с вероятностью p₁, эквивалентен для ЛПР (или эксперта) результату O₂, получаемому достоверно (с вероятностью 1). Аналогично определяют

вероятность p₂ для результатов O₂ и O₃,

вероятность p₃ для результатов O₃ и O₄,

……………………………………………..

вероятность p_n-1 для результатов O_n-1 и O_n.

3. Полагая полезность наименее предпочтительного результата O_n, равной единице, находят

……………

Второй метод, в котором не используются вероятности и который применим к качественным результатам, основан на следующих допущениях:

1. Каждому результату O_j соответствует действительное неотрицательное число u_j, рассматриваемое как мера истинной относительной полезности (значимости) O_j.

2. Если результат O_j более важен, чем O_k, то u_j>u_k; если результаты O_j и O_k эквивалентны по значимости, то u_j=u_k.

3. Полезность от одновременного достижения результатов (совместного появления результатов) O_j и O_k равна сумме полезностей отдельных результатов, т.е.

Алгоритм определения полезности, основанный на указанных выше допущениях, заключается в следующем:

1. Упорядочивают (с помощью ЛПР или эксперта) все результаты , по убыванию их предпочтительности. Пусть O₁ – наиболее, а O_n – наименее предпочтительный результат.

2. Приписывают полезности результата O_n значение 1, т.е. u_n=1, и предлагают ЛПР (или эксперту) приписать оценки полезности остальным результатам, т.е. u_n-1, u_n-2,…, u₁, отражающие их относительную ценность для него.

3. Составляют таблицу возможных комбинаций результатов, достигаемых одновременно, и предлагают ЛПР (или эксперту) установить их предпочтение относительно отдельных результатов. При этом комбинации, начинающиеся с одного результата, т.е. комбинации вида O_l+…, располагают в таблице в порядке убывания суммарных полезностей.

1	O1 или O2+…+ On	l+1	O2 или O3+…+ On
2	O1 или O2+…+ On-1	l+2	O2 или O3+…+ On-1
…	…	…	…
l	O1 или O2+ O3	N	On-2 или On-1+On

4. Проверяют выполнение последнего отношения предпочтения таблицы.

Если оно выполняется, то оценки полезности не изменяют.

Если не выполняется, то оценки изменяют так, чтобы данное отношение предпочтения выполнялось. Коррекцию следует производить таким образом, чтобы изменять оценки для минимального количества результатов (как правило, это будет иметь место, если менять оценку результата в левой части отношения).

5. Переходят к следующему отношению предпочтения и т.д. Процесс коррекции продолжается до тех пор, пока не образуется система оценок полезности, которая будет удовлетворять всем указанным в таблице отношениям предпочтения.

Задачи

2.1. При участии в беспроигрышной лотерее возможны пять результатов: выигрыши 20, 50, 100, 200 и 500 д.е. соответственно. Определить полезности указанных результатов.

2.2. Возможны три способа добраться из дома до работы: на такси (время в пути − 5 мин), на трамвае (время в пути − 20 мин) и пешком (время в пути − 60 мин). Определить полезности указанных способов.

2.3. Пусть эксперт упорядочил пять результатов O₁÷O₅, приписав им следующие оценки полезности: u₁=7; u₂=4; u₃=2; u₄=1,5; u₅=1.

Рассмотрев возможные комбинации результатов, достигаемых одновременно, он высказал следующие суждения относительно предпочтительности тех или иных комбинаций результатов:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Произвести оценку полезности результатов так, чтобы удовлетворить всем отношениям предпочтения; шаг изменения оценок выбрать кратным 0,5.