1.5 Контрольні запитання

1. Що таке ануїтет?

2. Які ренти бувають?

3. Що таке звичний ануїтет?

4. Як розрахувати майбутню суму платежів простого ануїтету?

5. Як впливає на розрахунок майбутньої суми простого ануїтету виконання платежів не раз на рік, а кілька разів?

6. Як розрахувати поточну вартість звичного ануїтету?

7. Як визначити суму платежу за простим ануїтетом?

8. Як визначити кількість періодів платежу за простим ануїтетом?

9. За допомогою якої функції MS Excel можна визначити кількість періодів платежу за простим ануїтетом?

10. Які аргументи використовує функція ОСНПЛАТ MS Excel?

11. За допомогою якої функції MS Excel можна визначити залишок заборгованості при погашенні кредиту за схемою простого ануїтету?

12. За допомогою якої функції MS Excel можна визначити процентний платіж при погашенні кредиту за схемою простого ануїтету?

13. За допомогою якої функції MS Excel можна визначити суму амортизації тіла кредиту при погашенні його за схемою простого ануїтету?

14. За допомогою якої функції MS Excel можна визначити суму платежу при погашенні кредиту за схемою простого ануїтету в певному періоді?

15. Як перевірити, чи не припадає визначена дата платежу на вихідні чи святкові дні за допомогою функцій MS Excel?

16. Які категорії функцій MS Excel Ви знаєте?

17. Які розрахунки можна виконати за допомогою функції MS Excel БС?

18. Які розрахунки можна виконати за допомогою функції MS Excel ПС?

19. Які розрахунки можна виконати за допомогою функції MS Excel КПЕР?

20. Які фінансові розрахунки можна зробити за допомогою функції ПЛТ(ставка; кпер; пс; бс; тип)? Поясніть аргументи функції.

21. Які фінансові розрахунки можна зробити за допомогою функції ЕСЛИ (лог_віражение; значение_если_истина; значение_если_ложь)? Поясніть аргументи функції.

22. Які фінансові розрахунки можна зробити за допомогою функції МОПРЕД (массив)? Поясніть аргументи функції.

Лабораторна робота 2. Складання прогнозу діяльності організації на основі динамічних рядів

2.1 Мета роботи:

2.1.1 Ознайомитись з методиками прогнозування, що застосовуються в управлінні фінансами фірми;

2.1.2 Придбати навички складання прогнозу з використанням електронних таблиць Microsoft Excel.

2.2 Короткі теоретичні відомості

Для оцінки майбутніх доходів та інших показників діяльності фірми на основі даних минулих періодів широко використовують екстраполяційні методи. В їх основі лежить припущення, що в силу інерційності економічних процесів тенденція, що склалася в минулому , буде незмінна в певних межах. Значення прогнозуючого показника можна представити у вигляді двох компонентів: тренда (тенденції) та випадкової складової (залишків). Звичайно, тренд апроксимують за допомогою достатньо простої математичної функції. Частіше всього для цих цілей використовують лінійну, квадратичну та логістичну функції. Оцінка параметрів функції робиться на основі динамічного ряду минулих періодів, який часто називають базовою лінією прогнозу.

Найбільш простою є методика плинного середнього, але він надто простий для надійного прогнозу. Існує ряд варіантів методу. Найбільш простий, коли прогнозом на майбутній період є середня арифметична за кілька попередніх періодів, число яких називають інтервалом зглажування із значенням k. Іншим підходом, більш складним, є виділення на динамічному ряду з n значеннями інтервалів (бажано, щоб значення інтервалу було непарним) із зміщенням на один період і розрахунку середнього арифметичного по кожному i - тому інтервалу. Таким чином ми отримаємо точку  [n-(k-1)]. При цьому відбувається зглажування відхилень тим більше, чим більше k. Отримані при цьому точки є координатами тренду (тенденції), по якій можна робити прогноз.

Більш складним та більш точнішим є метод експоненціального зглажування. При цьому методі останнє значення динамічного ряду має більшу вагу. Найбільш поширеним є рекурентний підхід, коли наступне значення визначається на основі попереднього:

St = yt + St-1 ,

(2.1)

де S_t - значення експоненціальної середньої у момент t;

 - параметр сглажування (0<  <1,  = const);

 = 1 – 

або              S_t = S_t-1 +(y_t - S_t-1). (2.2)

Перше значення S₀ звичайно приймають S₀ = y₁ або .

Параметр  для кон’юнктурних прогнозів треба брати ближче до 1, для довгострокових – ближче до 0. Сглажування є дуже корисним, якщо у динамічному ряду спостерігаються суттєві коливання.

Принципово іншим підходом є описання тренда за допомогою однієї з математичних функцій , вважаючи відхилення динамічного ряду в даних точках випадковими. Найбільше поширення в економіці знайшли:

а) лінійна функція y_t = a₀ + a₁t ;

б) квадратична функція y_t = a₀ + a₁t + a₂t² ;

в) логістична функція

Визначенням подібних залежностей займається регресійний аналіз. Найбільш часто при цьому невідомі постійні коефіцієнти а_i визначаються з використанням методу найменших квадратів, в основі якого лежить функція Лежандра:

Q =  (yt - yt)2  min

(2.3)

Мінімум функції можна знайти, якщо прирівняти до 0 її першу похідну по невідомим параметрам:

(2.4)

При використанні в якості функції поліному р - тої степені виходить система нормальних рівнянь Гауса:

a0n + a1t + a2t2 + ... + aptp = yt; a0t + a1t2 + a2t3 + ... + aptp+1 = yt t; ... a0tp + a1tp+1 + a2tp+2 + ... + apt2p = yt tp.

(2.5)

Розв’язавши цю систему можна визначити невідомі а₀, а₁, ... , а_р.

Після вибору виду функції та знаходження її параметрів необхідно провести кореляційний аналіз для оцінки тісноти та значимості зв’язку змінних в регресійній моделі.

Тіснота зв’язку є мірою впливу незалежної змінної на залежну. Її оцінюють перш за все за допомогою коефіцієнту детермінації і коефіцієнту кореляції.

Коефіцієнт детермінації показує, якою мірою варіація залежної змінної у визначається варіацією незалежної змінної t. Його розраховують за формулою:

(2.6)

де – значення тренду в момент t;

– значення часового ряду для моменту t;

– середня часового ряду.

Стандартні похибки оцінок параметрів моделі з урахуванням дисперсії залишків можна розрахувати за формулою:

(2.7)

де – дисперсія залишків.

(2.8)

де – залишки моделі;

с_kj – елемент матриці похибок С (матриця, обернена до матриці коефіцієнтів системи нормальних рівнянь);

m_l – кількість параметрів моделі.

Значення часового ряду можна представити як суму тренду і випадкової компоненти

.

Значимість зв’язку означає оцінку відхилення вибіркових змінних від значень генеральної сукупності спостережень за допомогою статистичних критеріїв. Найчастіше це здійснюють за допомогою критерію Фішера. При кореляційному аналізі часових рядів цей критерій розраховується за формулою

,

(2.9)

де – факторна дисперсія, яка визначається як

,

(2.10)

де – дисперсія залишків, яка визначається як

.

(2.11)

Під параметром m_l розуміють число параметрів теоретичної моделі.

В кореляційному аналізі існує рівняння, яке пов’язує відхилення загальної суми квадратів відхилень із залишковою сумою квадратів та сумою квадратів, що пояснює регресію:

,

(2.12)

де – загальна сума квадратів відхилень

;

(2.13)

– залишкова сума квадратів відхилень

;

(2.14)

– регресійна сума квадратів відхилень

.

(2.15)

Кожна з цих сум пов’язана з ступенями вільності: для S_y потрібно (n-1) незалежних чисел, тобто ступенів вільності; для S_ст – (n-m_l) ступенів вільності і для – (m_l-1).

За статистичними таблицями F- розподілу Фішера із ступенями вільності (n-m_l), (m_l-1) і рівнем довіри (1-α) вибирається F_α. При умові F > F_α прийнята модель відповідає статистичним критеріям значимості.

Для коректного використання МНК необхідно довести, що випадкова компонента має наступні властивості:

а) значення залишків є випадковими числами;

б) розподіл випадкової компоненти відповідає нормальному закону;

в) математичне очікування випадкової компоненти μ(u) = 0;

г) рівні випадкової компоненти не повинні автокорелювати.

Якщо не виконується хоч одна з цих умов, то застосування МНК вважається неадекватним характеристикам часового ряду.

Для перевірки випадковості значень залишків використовують ряд непараметричних критеріїв, таких як критерій серій і критерій поворотних точок.

Критерій серій оснований на порівнянні значень залишків з медіаною вибірки u_m. Значення u_t порівнюють з u_m для t=1 до n. Якщо u_t › u_m, то ставлять «+», якщо u_t ‹ u_m – «–».У випадку u_t = u_m значення опускається. Отримуємо послідовність, що складається з «+» і «–», загальна кількість яких k ≤ n. Послідовність, яка складається виключно з «+» або «–» називають серією. Позначимо довжину самої великої за кількістю серії як k_max, а загальне число серій через ν. Вибірка признається випадковою з 5% рівнем значущості, якщо виконуються наступні умови:

а) k_max<[3,3(lg n+1)];

б) .

Тут квадратні скобки означають цілу частину числа.

Критерій поворотних точок оснований на визначенні екстремумів ряду u_t, які вважаються поворотними точками. Позначимо загальне число поворотних точок через p. В випадковій виборці математичне очікування числа точок повороту і їх дисперсія визначаються наступним чином:

; .

(2.16)

Критерієм випадковості з 5% рівнем значимості є

.

(2.17)

Перевірка відповідності нормальному закону наближено виконується за допомогою показників асиметрії γ₁ і ексцесу γ₂. Припускається, що залишки u_t уявляють собою вибірку з генеральної сукупності, тому можна визначати вибіркові характеристики і і їх помилки і :

; ;	(2.18)
; .

Якщо одночасно виконуються наступні нерівності:

і ,

то гіпотеза про нормальний розподіл приймається.

Якщо виконується хоча б одне з наступних нерівностей:

або ,

то гіпотеза про нормальний розподіл відкидається, а трендова модель вважається неадекватною. Інші випадки вимагають перевірки по більш складним критеріям.

Для оцінки відповідності нормальному закону використовують також RS-критерій, який чисельно рівний відношенню розмаху варіації випадкової величини R до стандартного відхилення S(σ). В нашому випадку R=u_max-u_min, а S:

S= .

(2.19)

Якщо R/S попадає в інтервал між RS_max i RS_min, то гіпотеза про нормальний розподіл приймається, якщо ні – відкидається.

Для рівня значимості α=0,05

n	10	20	30
RSmax	3,685	4,490	4,890
RSmin	2,670	3,180	3,470

Оцінка математичного очікування випадкової компоненти ведеться з використанням t- критерію Ст'юдента

,

(2.20)

де ū – середньоарифметичне рівнів u_t;

S_u – стандартне відхилення для цієї послідовності.

Якщо (t_α є табличне значення статистики Ст'юдента з заданим рівнем значимості α і числом ступенів свободи (n-1), то гіпотеза μ(u)=0 приймається.

Перевірка на відсутність автокореляції, як правило, виконується на основі d- критерію Дарбіна-Уотсона, який визначається за формулою:

.

(2.21)

Під автокореляцією розуміють наявність суттєвого зв’язку між заданим часовим рядом y_t і рядом y_l+t. Число l характеризує запізнення (лаг). При наявності високої автокореляції залишків u_t стандартна помилка і довірчий інтервал втрачають зміст, у всякому випадку можна вважати, що прийнята модель невдатна і необхідно пошукати інші моделі.

Для прийняття рішення про наявність автокореляції Дарбін і Уотсон визначили критичні значення критерію d, визначивши їх як d_u i d_l. Для часових рядів при 5% помилці їх можна визначити за залежностями:

d_u=1,278+0,006417n;

d_l=0,954+0,011426n.

Якщо d знаходиться в межах від d_u до (4- d_u), то автокореляція відсутня; якщо d знаходиться в області від d_l до d_u або між (4- d_u) і (4- d_l), то визначити наявність автокореляції неможливо; якщо d< d_l, то присутня позитивна автокореляція залишків, а якщо d>(4- d_l), то присутня від’ємна автокореляція.

Довірчий інтервал прогнозу у випадку прямолінійного тренду визначається як

,

(2.22)

де L – період упередження;

– прогнозне значення за трендом;

t_α – табличне значення критерію Ст’юдента для прийнятого рівня значимості α і числа ступенів свободи для прямої;

– стандартна помилка оцінки .

Для поліному 2-го і 3-го порядку

.

(2.23)

Необхідно відмітити, що прогнозування на основі часових рядів, як правило, є короткостроковим, порядку місяців, до року.