Аксиоматическое определение вероятности
Мы попробуем обобщить математическое определение вероятности, объединив классическое и геометрическое определения и расширив рамки нашей математической модели реальных явлений. Это определение называют аксиоматическим и связывают с именем одного из величайших математиков XX столетия — Андрея Николаевича Колмогорова.
Пусть Ω. — множество всех возможных исходов некоторого случайного эксперимента. Будем считать, что множество О. конечно, и обозначать его элементы (т. е. исходы эксперимента): ω1, ω2 …, ωn:
Ω={ ω1, ω2 …, ωn }
Зададим на элементах множества Ω. неотрицательную числовую функцию
р{ ω), для которой
p(ω1)+p(ω2)+...+р(ωn)=1
Эту функцию будем называть распределением вероятности на Ω.., а пару (Ω.,р) — вероятностным пространством.
Случайным событием А назовем любое подмножество элементов из множества ω, а его вероятностью Р(А) — сумму вероятностей входящих в него исходов. В частности, вероятностью элементарного события { ω,} будет сопоставленное ему число р(ω,).
Геометрическое определение вероятности.
Выберем на географической карте мира, изображенном на рисунке, случайную точку (например, зажмурим глаза и покажем в неё указкой). Какова вероятность, что эта точка окажется в России? Очевидно, для ответа на вопрос нужно знать, какую часть всей карты занимает Россия. Точнее, какую часть всей площади карты составляет площадь России. Отношение этих площадей и даст искомую вероятность.
А какова вероятность попасть при этом в Гринвичский меридиан? Как ни странно, придется положить ее равной нулю — ведь площадь меридиана равна нулю (это ведь линия, не фигура: у нее есть только длина). На самом деле ничего странного в этом факте нет — попасть указкой точно в меридиан невозможно.
Такую же картину мы имеем и в общем случае, когда в некоторой области G случайно выбирается точка. Если предположить, что попадание в любую точку области равновозможною, то вероятность попадания случайной точки в любую подобласть А будет равна отношению площадей (через Р(А), как и раньше, обозначаем вероятность, а через S — площадь).
P(A)=
Если А имеет нулевую площадь, то вероятность попадания в А равна нулю. Например, вероятность попадания на отрезок L будет нулевой.
Такое определение вероятности называется геометрическим.
Свойства вероятности
Вероятность достоверного события равна 1: Р(А) =
=
= 1.Вероятность невозможного события равна 0: Р(А) = =
= 0
Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:
P(A)+P(
)=1
Вероятность противоположного события находится по формуле:
P( )=1– P(A)
Элементы комбинаторики
Комбинаторика - это раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составленной по заданным правилам.
Если исходное множество состоит из п различных элементов, то при каждом выборе мы будем извлекать из него новый элемент, отличный от всех других -это выбор без повторений.
Если исходное множество состоит из элементов к типов (классов), причём внутри каждого класса элементы неразличимы, то при очередном выборе мы можем извлечь либо новый элемент, либо такой, какой уже встречался при предшествующих извлечениях - это выбор с повторениями.
Извлечённые из исходного множества т элементов составляют выборку; из элементов выборки в соответствии с заданными правилами строится (или составляется) комбинация элементов.
Правило умножения. Пусть требуется выполнить одно за другим какие-то т действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие - п2 способами, третье - п3 способами и так до т-го действия, которое можно выполнить пт способами, то все т действий вместе могут быть выполнены n1*n2*n3*...*пт способами.
Правило сложения. Если два действия взаимно исключают друг друга, причём одно из них можно выполнить т способами, а другое - п способами, то выполнить одно любое из этих действий можно т + п способами.
Размещением из п элементов по т называется любой выбор т элементов, взятых в определённом порядке из п элементов.
Число
размещений из п
элементов
по т
обозначают
A
.
т.е.
A =
Перестановкой из п элементов называется размещение из п элементов по п. Число перестановок обозначается Рп
Теорема. Число перестановок п различных элементов равно n! т.е. Рп = n!
Сочетанием из п элементов по т называется любой выбор т элементов, взятых из п элементов.
Число сочетаний из п элементов по т обозначают и вычисляют по формуле:
С
=
,
которую
можно записать также в виде: С
=
Теорема. Число сочетаний из п элементов по т равно т.е. С =
Теорема.
Имеет место равенство С
+
С
+
С
+....
+ С
=2n