2. Потенциал притяжения и его физический смысл.

Для выяснения физического смысла потенциала притяжения найдем приращение потенциала dU при перемещении массы из точки В с координатами х, у, z в точку В^/ с координатами х + dx, у + dy, z + dz. Это приращение можно выразить через частные производные от U:

dU = dx + dy + dz.

Обозначая косинусы углов, составленных направлением пере­мещения s с координатными осями х, у, z, соответственно через cos(s, x), cos(s, y), cos(s, z), а расстояние между точками B и B^/ через ds, получим:

dx = ds·cos(s, x); dy = ds·cos(s, y); dz = ds·cos(s, z).

Тогда dU = F_xds·cos(s, x) + F_yds·cos(s, y) + F_zds·cos(s, z) =

= ds(F_xcos(s, x) + F_ycos(s, y) + F_zcos(s, z)).

Заменяя F_x, F_y, F_z на соответственно, Fcos(F, x), Fcos(F, y), Fcos(F, z), представляем

dU = Fds[cos (F, x)cos(s, x) + cos(F, y)cos(s, y) + cos(F, z)cos(s,z)].

Так как выражение в квадратных скобках равно cos(F, s), получаем dU = Fcos (F, s)ds или dU = F_sds,

где F_s - проекция силы на направление s.

Правая часть последней формулы представляет собой произведение силы F_s на путь ds, что равно работе.

Таким образом, приращение потенциала равно работе, которая производится действующей силой для преодоления силы притяжения, создаваемой притягивающей массой, при перемещении единичной массы из одной точки в другую.

Отсюда следует, что U = ,

т. е. потенциал притяжения для некоторой точки В пространства есть работа, которую совершают силы притяжения, обусловленные притягивающим телом, при перемещении под их действием единичной массы из бесконечности в эту точку.

Уравнение dU = F_sds можно записать в виде = F_S.

Таким образом, производная потенциальной функции по любому направлению равна составляющей силы по этому направлению.

Если направление s перпендикулярно к направлению силы F, то cos(F, s) = 0, = F_S = 0, следовательно, U = C = const.

Это выражение представляет собой уравнение эквипотенциальной (уровенной) поверхности, обладающей тем свойством, что в любой ее точке сила притяжения направлена по нормали к этой поверхности, а касательные составляющие силы равны нулю. Величина силы на эквипотенциальной поверхности в общем случае не является постоян­ной. Если направления s и F совпадают, то cos(F, s) = 1 и = F.

Величина ds в этом случае представляет собой расстояние между двумя эквипотенциальными поверхностями U₁ = с и U₂ = с + dU. Из формулы = F следует, что расстояние между двумя уровенными поверхностями обратно пропорционально действующей силе. Если сила притяжения на участке уровенной поверхности возрастает, то расстояние между поверхностями уменьшается, и наоборот.

Поскольку приращение потенциала dU при переходе с одной уровенной поверхности на другую постоянно и не зависит от положения точки на этой поверхности, то это приращение dU не зависит от пути перемещения точки, а является только функцией конечных точек перемещения. Отсюда следует, что приращение потенциала dU по замкнутому контуру равно нулю.

Потенциал притяжения U является функцией, регулярной на бесконечности, т. е. rU = kM,

где М - масса тела, создающего потенциал U. При r → ∞ потенциал U обращается в нуль.