§2. Осреднение аномалий

Разделение гравитационных аномалий на региональную и локальную составляющие с помощью осреднения широко распространено на практике. Сущность метода осреднения сводится к следующему.

Наблюдаемое аномальное поле можно рассматривать как сумму двух составляющих: региональной U_r и локальной U_l.

U = U_r + U_l. (1)

Наблюдаемое гравитационное поле осредняют в пределах круга радиусом R, среднее значение можно выразить интегралом

= . (2)

Радиус R выбирают таким, чтобы он значительно превосходил размеры локальных аномалий, подлежащих определению, и был значительно меньше размеров региональных аномалий. При соблюдении этого условия региональная составляющая выделяется из наблюденного поля потому, что локальные аномалии (положительные и отрицательные) в значительной мере компенсируют друг друга, в то время как региональная составляющая при осреднении изменяется в меньшей степени, и тогда ≈ U_r. В частности, если региональное поле меняется по линейному закону, то осреднение на негo совершенно не влияет. Значение региональной составляющей совпадает со значением осредненного поля, отнесенного к центру круга.

= U_r(0, 0, 0).

Таким образом, операция осреднения подчеркивает плавно меняющиеся аномалии и исключает или подавляет аномалии с резким градиентами, т. е. аномалии, связанные с плотностными неоднородностями на небольших глубинах. Локальные аномалии получаются как разность наблюденного и осредненного полей:

U_i = U - .

Для выяснения физического смысла осредненных аномалий введем понятие меры осреднения - отношение осредненного значения поля к его исходному значению:

ε = . (3)

Мера осреднения одновременно характеризует степень точности выделения локальных аномалий.

Пусть аномальное поле U_z создается шаром с массой М, залега­ющим на глубине h

U_z(r, α, 0) = kM . (4)

Найдем среднее значение в пределах круга радиусом R, поло­жив, что центр круга совпадает с проекцией центра шара. Подставив выражение (4) в формулу (2), получим

= = (1 - ). (5)

Положим = μ. Тогда формула (5) аналогична формуле притяжения однородного кругового материального диска с поверхностной плотностью μ, расположенного на глубине h, имеющего массу, равную массе шара М, и радиус R, равный радиусу осредне­ния. Таким образом, операция осреднения аномалии U_z точечной массы на глубине, h в круге радиусом R равносильна раскатыванию этой массы в материальный диск, расположенный на той же глубине и имеющий радиус, равный радиусу осреднения.

Меру осреднения для шара получим, разделив выражение (5) на значение U_z(О, 0, 0) над центром шара:

ε = (1 - ) : = ( 1 - ). (6)

Обозначив R/h = R_h, приводим равенство (6) к виду

ε = . (7)

Это выражение позволяет выбрать радиус осреднения, задаваясь точностью определения локальных аномалий при заданной глубине h. На практике радиус осреднения следует выбирать эмпирически, исходя из заданного гравитационного поля. Для этого в нескольких точках, расположенных на участках карты с разным характером гравитационного поля, вычисляют осредненные значения поля для различных радиусов осреднения. Строят график зависимости осредненного поля от радиуса осреднения. По графику выбирают опти­мальный радиус осреднения: незначительные изменения этого радиуса мало сказываются на величине осредненных значений поля.

Для регионального фона, имеющего вид наклонной плоскости» графики осредненного значения U_z выходят на асимптоту: при даль­нейшем увеличении радиуса осреднения осредненное значение аномалии практически не меняется. При наличии в суммарном гравитационном поле аномалий нескольких порядков графики осредненного значения поля имеют несколько точек перегиба. В этом случае оптимальный радиус осреднения выбирают не асимптотическому значению осредненного поля, а по точке перегиба. Определив оптимальный радиус осреднения, по формуле (7) можно оценить меру точности выделения локальных аномалий, задаваясь глубиной их источников.

Кроме осреднения внутри круга можно проводить осреднение и по площадям другой формы. В частности, на практике удобнее пользоваться квадратной палеткой. Ее преимущество заключается в несколько меньшем объеме вычислений. Карту разбивают горизонтальными и вертикальными линиями на квадраты определенного размера и в вершинах квадратов выписывают значения поля, подлежащие осреднению. В случае осреднения по квадрату со стороной 2а аномалия U_z точечной массы трансформируется в аномалию материального квадрата со стороной 2а, с массой, равной точечной массе и расположенной на той же глубине. Осредненное значение аномалии в этом случае выражается равенством

= = arctg ), (8)

а мера осреднения имеет величину

ε = , (9)

где a_h = a/h.

Осреднение внутри круга или квадрата применяют, когда простирание аномалий не имеет явной направленности. В случае ясно выраженного простирания аномалии осредняют по эллипсу или прямоугольнику.

При осреднении двухмерных полей вместо поля бесконечной горизонтальной материальной линии получим поле горизонтальной полосы. Над горизонтальной линией

U_z(0, 0) = .

Заменяя массу λ массой полосы длиной 2а, находим величину вертикальной составляющей притяжения полосы над ее серединой

= 4kμ arctg ,

где μ = .

Тогда степень осреднения

ε = arctg .