69. Критерии надежности невосстанавливаемых систем

Отказ элемента является событием случайным, а время ξ до его возникнове­ния — случайной величиной. Основной характеристикой надежности эле­мента является функция распределения продолжительности его безотказной работы F(t) = P(ξ<t), определенная при t≥0. На ее основе могут быть по­лучены следующие показатели надежности невосстанавливаемого элемента: - P(t) — вероятность его безотказной работы в течение времени t;

-Q{t) = 1 – P(t) — вероятность отказа в течение времени t;

-T_l — среднее время безотказной работы (средняя наработка до отказа);

-f(t) — плотность распределения времени безотказной работы;

-λ(t) — интенсивность отказа в момент времени t;

-Λ(t) — функция ресурса;

- t_γ — γ-процентный ресурс — наработка, в течение которой элемент не

достигает состояния отказа с вероятностью γ/100.

Рассмотрим эти показатели более подробно. Дадим вероятностные и стати­стические определения, укажем на их свойства, достоинства и недостатки.

Вероятность безотказной работы

Вероятностью безотказной работы называется вероятность того, что техниче­ский объект не откажет в течение времени t или что время ξ работы до отка­за технического объекта больше времени его функционирования t:

P(t) = P(ξ>t). (2.1)

Вероятность безотказной работы является убывающей функцией времени, имеющей следующие свойства:

0≤P(t)≤\, Р(0) = 1, Р(+∞)=0.

По статистическим данным об отказах, полученным из опыта или эксплуата­ции, P(t) определяется следующей статистической оценкой:

где N₀ — общее число, находящихся образцов на испытании, N(t) — число исправно работающих образцов в момент времени t, n(t) — число отказав­ших образцов в течение времени t. Здесь и далее звездочкой обозначаются величины, полученные по статистическим данным.

Вероятность безотказной работы имеет следующие достоинства:

- характеризует надежность во времени, являясь интервальной оценкой;

- определяет многие важные показатели техники, например эффективность, безопасность, живучесть, риск;

- сравнительно просто вычисляется и определяется по статистическим дан­ным об отказах техники;

• - достаточно полно характеризует надежность невосстанавливаемой тех­ники.

Основной недостаток этого критерия—ограниченность применения. Веро­ятность безотказной работы характеризует надежность невосстанавливаемой техники или восстанавливаемой до первого ее отказа.

Плотность распределения времени безотказной работы (частота отказов)

Плотность распределения времени безотказной работы f(t) — это плотность распределения случайной величины ξ. Она наиболее полно характеризует надежность техники в данный момент (точечная характеристика). По ней можно определить любой показатель надежности невосстанавливаемой сис­темы. В этом основное достоинство плотности распределения времени безот­казной работы.

Статистически f(t) определяется отношением числа отказавших образцов техники в единицу времени к числу испытуемых образцов при условии, что отказавшие образцы не восполняются исправными:

(2.3) (2.3)

где n(t,t + Δt)— число отказавших образцов за промежуток времени [t,t + Δt], N_o — число образцов, первоначально поставленных на испытания.

Действительно, т. к. f(t) = Q'(t) = -P'(t), то для малых значений Δt имеем

Пусть N(t) — число исправно работающих образцов к моменту времени t, N(t + Δt) — число образцов, исправно работающих к моменту t + Δt. По­скольку

что совпадает с выражением (2.3), т. к. N(t) - N(t + Δt) = n(t, t + Δt).

Интенсивность отказов

Интенсивностью отказов называется отношение плотности распределения к вероятности безотказной работы объекта:

где — среднее число исправно работающих образ­цов на интервале [t, t + At]. Соотношение (2.5) для малых Δt следует непо­средственно из (2.2) и (2.3). На основе определения интенсивности отказов (2.4) имеет место равенство

Интегрируя (2.6), получим

или

Интенсивность отказов λ(t) является основным показателем надежности элементов сложных систем. Это объясняется следующими обстоятельствами:

надежность многих элементов можно оценить одним числом, т. к. интен­сивность отказа элементов — величина постоянная;

по известной интенсивности λ(t) наиболее просто оценить остальные по­казатели надежности как элементов, так и сложных систем; λ(t) обладает хорошей наглядностью; интенсивность отказов нетрудно получить экспериментально.

Опыт эксплуатации сложных систем показывает, что изменение интенсивно­сти отказов λ(t) большого количества объектов описывается U-образной кривой (рис. 2.1). Время можно условно разделить на три характерных участка:

1. Период приработки.

2. Период нормальной эксплуатации.

3. Период старения объекта.

Рис. 2.1. U-образный вид кривой интенсивности отказов

Период приработки объекта имеет повышенную интенсивность отказов, вы­званную приработочными отказами, обусловленными дефектами производст­ва, монтажа и наладки. Иногда с окончанием этого периода связывают гаран­тийное обслуживание объекта, когда устранение отказов производится изго­товителем. В период нормальной эксплуатации интенсивность отказов практически остается постоянной, при этом отказы носят случайный характер и появляются внезапно, прежде всего из-за случайных изменений нагрузки, несоблюдения условий эксплуатации, неблагоприятных внешних факторов и т. п. Именно этот период соответствует основному времени эксплуатации объекта. Возрастание интенсивности отказов относится к периоду старения объекта и вызвано увеличением числа отказов из-за износа, старения и дру­гих причин, связанных с длительной эксплуатацией.

Среднее время безотказной работы

Средним временем безотказной работы T_l называется математическое ожи­дание времени безотказной работы технического объекта:

T_l=M(ξ) (2.7)

По статистическим данным об отказах T_l определяется следующей зависи­мостью:

(2.8)

где N_o — число испытуемых образцов техники, t_i — время безотказной ра­боты i-го образца.

Как математическое ожидание случайной величины с плотностью f(t), среднее время безотказной работы вычисляется по формуле:

(2.9)

Продолжение билета 69

Интегрируя (2.9) по частям, получим

Первое слагаемое равно нулю, т. к. Р(0) = 1, Р(+∞) = 0, и тогда выражение для T_l будет иметь вид:

(2.10)

Среднее время безотказной работы является интегральным показателем на­дежности. Его основное достоинство— высокая наглядность. Недостаток этого показателя в том, что он, будучи интегральным, характеризует надеж­ность техники длительного времени работы.

Итак, между показателями надежности существуют следующие зависимости:

На испытании находилось N₀ = 100 образцов техники. Данные об их отказах приведены в первых трех строках табл. 2.1.

Таблица 2.1. Исходные данные об отказах

Интервал, час	0—100	100— 200	200— 300	300— 400	400— 500	500— 600	600— 700	700— 800
Длина Δt, час	100	100	100	100	100	100	100	100
Число отказавших образцов n(t, t+Δt)	1	2	1	3	2	2	1	3
P(t)	0,99	0,97	0,96	0,93	0,91	0,89	0,88	0,85
f(t)*10-4час-1	1	2	1	3	2	2	1	3
λ(t)*10-4, час-1	1,01	2,03	1,04	3,17	2,20	2,22	1,12	3,47

Необходимо вычислить показатели надежности: P(t), f(t), λ(t), T_l.

Решение. Вычислим P(t). Будем иметь в виду, что нам достоверно неизвес­тен момент отказа на промежутке длины Δt. Поэтому будем предполагать, что отказы происходят в середине этого промежутка, т. е. в моменты време­ни: t = 50, 150, 250 и т. д. На первом интервале произошел один отказ. Тогда согласно (2.2) вероятность безотказной работы будет:

На втором участке произошло 2 отказа, а всего за два периода длины Δt 3 отказа. Тогда

Результаты расчетов приведены в четвертой строке табл. 2.1. Вычисления значений f(t) выполним по формуле (2.3):

и т. д. В данном случае число отказов на промежутке длины Δt не суммиру­ется с числом отказов на предыдущих участках, т. к. функция f(t) является точечной. Результаты расчетов приведены в пятой строке табл. 2.1. Вычислим значения λ(t), воспользовавшись выражением (2.5). На первом участке произошел один отказ, при этом в начале участка число исправных образцов N(0) = N_o = 100, а в конце участка N(100) = N₀ -1 = 99 . Тогда

Аналогично на втором участке

и т. д. Значения λ(t) приведены в последней строке табл. 2.1.

Вычислим среднее время безотказной работы по формуле (2.8):

В данном случае испытания закончены при отказе 15 из 100 образцов.

Очевидно, что полученный результат существенно ниже действительного значения среднего времени безотказной работы как математического ожида­ния случайной величины.