Р ис 2.8. Рента - пренумерандо (сегодняшняя стоимость).
Видно, что текущие стоимости обеих рент также отличаются множителем (1+i), который соответствует годовой доходности.
Ренты, выплачиваемые в течение определенного срока, называют срочными, а если время выплат не ограничено, - бессрочными, пожизненными или вечными.
Для расчета текущей стоимости вечной ренты, например, пожизненной дополнительной пенсии или выплат по облигациям необходимо в исходных формулах срок n устремить к бесконечности. Тогда текущая стоимость рент постнумерандо и пренумерандо определяются соответственно по формулам:
;
(2.18)
В реальной жизни чрезвычайно часто встречаются ситуации, когда надо определить размер разового платежа по заданной будущей или сегодняшней стоимости ренты. Эта задача решается элементарно с помощью формул (2.14 – 2.18).
Например, из формулы для будущей стоимости ренты - постнумерандо (2.14) следует:
(2.19)
Аналогично определяются размеры разовых выплат или поступлений и для остальных видов рент.
Рассмотренные количественные соотношения в финансовых вычислениях выполняют функции таблицы умножения в обычной арифметике.
Поэтому в табл. 2.1 сведены все типовые финансовые схемы, которые являются базой для обоснования любых инвестиционных решений.
Таблица 2.1
Типовые расчетные схем
Вид платежей |
Стоимость |
|
будущая |
сегодняшняя |
|
Единовременный |
|
|
Рента - постнумерандо |
|
|
Рента - пренумерандо |
|
|
Простейшие примеры инвестиционных расчетов даны ниже.
1. Ссуда 10 млн. руб. выдана под 20 % годовых на срок 9 месяцев. Определить размер суммы, подлежащей возврату, и процентную ставку за срок ссуды (простые проценты).
Sn=
So
(1+ni ) =
10(1+
0,2)
= 11,5
млн. руб.
Процентная ставка за срок ссуды равна:
· 0,2 = 0,15 = 15%
2. Определить процентные деньги и сумму накопленного долга, если ссуда равна 100 тыс.руб., срок – 2 мес., номинальная процентная ставка 10% (проценты простые).
Сумма долга:
Sn
= So+Soni
= 100 + 100
0,1 = 101,67 тыс.руб.
Процентные деньги:
Soni = 100 0,1 = 1,67 тыс.руб.
3. Определить процентные деньги и сумму накопленного долга, если ссуда равна 10 млн.руб., срок – 2 года, номинальная процентная ставка 10%.
Сумма долга:
Sn= So(1+ni) = 10(1+2 · 0,1) = 12 млн.руб.
Процентные деньги:
12 – 10 = 2 млн.руб. или 2 · 0,1 · 10 = 2 млн.руб.
4. Определить сумму долга в 100 тыс. руб. через 5 лет с ежегодным начислением процентов по ставке 5,5%.
Sn = So (1+i)n = 100 · (1+0,055)5 = 130696 руб.
Процентные деньги:
Sn - So = 130696 – 100000 = 30696 руб.
5. Вы положили на депозит 10 тыс. руб. в банке, предлагающем 20% годовых, и предполагаете не снимать деньги 5 лет. Проценты начисляются ежеквартально. Определить накопленную сумму на конец пятого года.
Sn
=
So
(1+
)mn
=
10·(1+
)4·5
=
10·2,653
= 26,53 тыс.руб.
Если
проценты при номинальной ставке
20%
начислялись
бы ежемесячно, то будущая сумма:
Sn=10·(1+
)12·
5 = 10·2,696 =
26,96 тыс.руб.
При начислении процентов два раза в год:
Sn
= 10·(1+
)2·5
= 10·2,594 =
25,94 тыс.руб.
Если проценты начисляются один раз в год:
Sn = 10·(1+0,2)5 = 10·2,488 = 24,88 тыс.руб.
Эффективная годовая процентная ставка, например при ежеквартальном начислении процентов равна:
i =(1+ )m - 1= (1+ )4 – 1= 0,2155 = 21,55%
При этой ставке результат такой же, как и при ежеквартальном начислении по ставке 20%:
Sn = 10/(1+0,2155)5 = 10/(1+ )4х5=10·2,653 = 26,53 тыс.руб.
6. При рождении ребёнка на его имя в банке родители вносят 10 тыс.руб. с ежегодным начислением процентов по ставке 20%. Определить накопленную сумму к совершеннолетию (18 лет).
Sn = So (1+i)n=10(1+0,2)18=10х26,623=266,23 тыс.руб.
7. Родители ребёнка в возрасте 7 лет хотят накопить денег для оплаты его обучения в вузе, предполагаемая стоимость которого 100 тыс. руб. Определить размер единовременного вклада на депозит при годовой процентной ставке 15%.
So
=
тыс.руб.
8. Определить эффективную ставку, если номинальная равна 25% при помесячном начислении процентов.
i
= (1+
)m
=
(1+
)12
=
0,28 = 28%
9. Определить номинальную ставку при помесячном начислении процентов, если годовая эффективная ставка равна 28%.
j=m
[(1+i)
- 1] =12 [(1+0,28)
- 1]=12 (1,280,0833
- 1)=0,25=25%,
где
[
]
– ставка за месяц.
10. Сумма, на которую начисляются проценты непрерывно, равна 2 млн.руб.; сила роста 10%; срок – 5 лет. Определить накопленную сумму и эквивалентную годовую ставку при дискретном начислении процентов.
=
2е5·0,1=
2·1,6487 = 3,297744 млн. руб.
При дискретном ежегодном начислении:
Sn=So (1+i)n=2 (1+0,1)5=2·1,61051=3,221020 млн. руб.
Для определения эквивалентной по результату дискретной процентной ставки используем соотношение:
i = еδ – 1 = е0,1 – 1 = 0,1052 = 10,52%
11. Вы берёте в банке ссуду 500 тыс.руб. на 40 месяцев при годовой ставке 12%. Определить сумму ежемесячного платежа в конце каждого месяца.
Современная стоимость этой ренты:
Отсюда размер месячного взноса:
12. Под залог выдана ссуда 15млн.руб. на 10 лет под 12% годовых. Погашение основного долга и выплата процентов по нему происходит ежемесячно. Определить сумму разового платежа и остаток долга на начало девятого года погашения ссуды.
Остаток долга на период с номером k определяется по формуле:
где k=8·12 = 96
13. Вы надумали завещать своим потомкам получить через 100 лет сумму 50 млн.руб., годовая процентная ставка банка – 8%. Какую сумму вы должны отнести в банк?
Отсюда видно, что при очень больших сроках платежа его современная величина чрезвычайно мала даже при сравнительно невысокой процентной ставке.
14. Стоимость оборудования равна 100млн.руб.. Срок лизинга – 5 лет. Годовая процентная ставка 10%. Остаточная стоимость равна нулю, платежи в конце каждого года. Определить размер разового платежа и составить план-график погашения долга.
Из общей формулы для современной стоимости ренты следует выражение для определения размера лизингового платежа:
Если контракт предусматривает выплаты в начале каждого года, то размер платежа:
