IV. Интеграл лебега Тема 7. Интеграл Лебега от ограниченной измеримой функции

Определение и существование интеграла Лебега от ограниченной измеримой функции.
Основные свойства интеграла Лебега.
Вычисление интеграла Лебега.
Сравнение интегралов Римана и Лебега.
Критерий интегрируемости по Риману ограниченной функции.

См. список литературы: [4, гл. 6.4]; [5, гл. 5.1 – 5.4].

Краткие теоретические сведения

1. Интеграл Римана. При определении интеграла Римана от ограниченной на отрезке [a; b] функции f(x), этот отрезок разбивается на части точками

a = x₀ < x₁ < … < x_i < x_i+1 < … < x_n = b.

На каждом участке [x_i; x_i₊₁] произвольно выбирается точка ξ_i и составляется интегральная сумма:

σ = .

Если при λ → 0, где λ = (x_i₊₁ – x_i), существует конечный предел интегральной суммы σ, не зависящий ни от способа дробления отрезка [a; b], ни от выбора точек ξ_i, то этот предел называется интегралом Римана от функции f(x) и обозначается (R) или .

Теорема. Для того чтобы функция f(x) была интегрируема по Риману, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена на [a; b] и мера Лебега множества точек ее разрыва равнялась нулю, т.е. чтобы f(x) была почти всюду непрерывна на [a; b].

2. Интеграл Лебега. Пусть f: E → [A; B] – ограниченная, измеримая функция, Е – измеримое множество. В отличие от предыдущего разбивается на части не множество Е, расположенное на оси абсцисс, а принадлежащий оси ординат отрезок [A; B], включающий все значения функции f(x):

А = у₀ < y₁< y₂< … < у_i < у_i₊₁ < … < у_n = В.

Далее рассматриваются множества e_i = E(y_i ≤ f(x) < y_i₊₁) и составляется интегральная сумма σ = .

Если существует конечный предел суммы σ при λ → 0, где

λ = (у_i₊₁ – у_i), то этот предел называется интегралом Лебега от функции f(x) и обозначается (L) или .

Если Е = [a; b], то пишут (L) (или ).

Теорема. Всякая ограниченная, измеримая на Е функция интегрируема по Лебегу на этом множестве.

Свойства интеграла Лебега.

а) Если А ≤ f(x) ≤ B, то А mЕ ≤ (L) ≤ B mE.

б) Если множество Е = , где E_i – попарно непересекающиеся измеримые множества, то (L) = (полная аддитивность интеграла Лебега).

в) Если две функции f(x) и g(x) равны почти всюду на множестве Е, т.е. mE(f g) = 0, то (L) = (L) .

4. Связь интегралов Римана и Лебега.

Если функция f(x) интегрируема по Риману на отрезке [a; b], то на нем она интегрируема по Лебегу и (L) = (R) .

Задачи

Доказать, что всякая функция с ограниченным изменением (см. задачу № 102) интегрируема по Риману на [a; b].
Доказать, что функция Дирихле не интегрируема по Риману на отрезке [0; 1]. Проинтегрировать ее по Лебегу на этом отрезке.
Доказать, что (L) = 0, если mE = 0. Найти (L) , где Р₀ – множество Кантора.
Cоставьте интегральные суммы Лебега для функции f(x) = [x], проведя все подсчеты для отрезка [0; 5]. Убедитесь в том, что предел их сумм при λ → 0 совпадает с (R) .
Доказать, что (L) = (L) , где φ(x) – функция Дирихле, f(x) – интегрируемая по Лебегу функция. Найти (L) .
Найти интеграл Лебега на отрезке [0; 1] от следующих функций:
f(x) =
б) f(x) =
Будут ли интегрируемы по Риману на отрезке [0; 1] следующие функции: