1.3. Закон Паскаля и его использование в технике

Согласно основному уравнению гидростатики (1.7), изменение внешнего давления p на некоторую величину ∆p приводит к изменению давления во всех точках жидкости на ту же величину ∆p:

. (1.16)

Это и есть доказательство закона Паскаля.

Закон Паскаля используется в технике в двух направлениях:

– для умножения усилия (прессы, домкраты и т.д.);

– для умножения давления.

Умножение усилия. Предположим, что , тогда имеем .

Следовательно, в подпоршневом пространстве (рис. 1.7) реализуется постоянное давление, равное .

Рис. 1.7. Схема умножения усилия

Это давление передается на поршень большего диаметра :

. (1.17)

Как видно из формулы (1.17), при получим .

Умножение давления. Пусть и .

Сила, действующая на жесткую систему цилиндров (рис. 1.8), равна:

.

Рис. 1.8. Схема умножения давления

Отсюда находим :

. (1.18)

Согласно формуле (1.18), на выходе можно получить сколь угодно большое давление .

1.4. Сила давления жидкости на плоские стенки

Сначала рассмотрим силы давления жидкости на горизонтальные стенки.

Сила давления жидкости на горизонтальное дно сосуда определяется по формуле (рис. 1.9):

, (1.19)

а давление на дно, согласно основному уравнению гидростатики, как:

. (1.20)

Рис. 1.9. Сила давления жидкости на горизонтальные стенки

Следовательно, сила давления жидкости на горизонтальное дно зависит от давления на свободной поверхности , плотности жидкости , глубины погружения поверхности h, но не зависит от формы сосуда (гидростатический парадокс).

Рассмотрим более общий случай. Пусть площадь расположена под углом к горизонту и перпендикулярна к плоскости рисунка (рис. 1.10).

Через проекцию контура площади S (линия АВ) проведем ось оу и спроектируем эту площадь на плоскость хоу.

Определим силу давления жидкости на элементарную площадку предполагая, что в пределах давление не меняется:

Здесь – давление на свободной поверхности, h – глубина погружения площадки dS. Заметим, что . Для определения полной силы проинтегрируем полученное выражение по всей площади S.

Рис. 1.10. Схема для определения силы давления жидкости

на плоскую стенку

Последний интеграл в правой части уравнения представляет собой статический момент площади относительно оси ох и равен:

где – координата центра тяжести площади . Заменяя получим:

(1.21)

Здесь – давление в центре тяжести площади S. Полная сила давления на плоскую стенку равна произведению площади стенки на гидростатическое давление в центре тяжести этой площади.

Формулу (1.21) представим в другом виде:

(1.22)

Здесь – внешняя сила, – избыточная сила, вызванная весом жидкости.

Внешнее давление передается всем точкам площади S одинаково, поэтому внешняя сила будет приложена в центре тяжести площади S. Сила избыточного давления из-за неравномерности распределения ^{избыточного давления по глубине приложена ниже в центре давления} .

Координата центра гидростатического давления определяется по формуле:

(1.23)

где – момент инерции фигуры относительно оси ох.

Зависимость (1.23) может быть представлена в виде:

(1.24)

где – момент инерции фигуры S относительно оси, проходящей через её центр тяжести. Величина представляет собой эксцентриситет.

Зная величины и и точки их приложения, можно найти величину и точку приложения общей силы P.