Задание 4

В этом задании мы рассмотрим, что является кластером в терминологии самоорганизующихся карт Кохонена.

Вам понадобится массив из 1500 элементов следующего вида.

А	B	С
0,432	1,231	1,435
9,212	2,342	0,509
4,978	3,012	0,136
3,654	8,031	1,911
…	…	…

В нем все переменные принимают случайные значения: А и В – от 0 до 10, а С для первых 500 элементов – от 0 до 2, для следующих 500 элементов – от 4 до 6, для последних 500 элементов – от 8 до 10.

Таким образом, входные образцы расположатся случайным образом внутри трех больших слоев куба размером 10х10. На диаграмме размещения хорошо видны эти три слоя.

Судя по внешним признакам¸ эти три слоя можно считать кластерами. Образцы в них достаточно плотно сгруппированы и отделены от других образцов значительным расстоянием. Однако смогут ли самоорганизующиеся карты Кохонена отразить такую кластеризацию?

Для ответа на этот вопрос постройте и обучите сеть на основе подготовленных данных. Для проверки результата выберите следующие отображения карты Кохонена: «Матрица плотности попаданий», «Кластеры» и «Проекция Саммона».

Сколько кластеров выделяется автоматически? Можно ли изменить число кластеров при автоматическом определении их числа, изменяя уровень значимости в настройке кластеров? Удается ли вам получить три кластера при автоматическом определении их числа?

Как именно распределена в пространстве образцов двухмерная сеть Кохонена? Определенное представление об этом можно получить, взглянув на проекцию Саммона.

Вероятно, вы увидите, что ячейки сети расположены тремя группами. Иной ситуации и не могло быть, поскольку нейроны во время обучения стремятся стать ближе к учебным образцам. Однако сеть, скорее всего, будет иметь сложную пространственную конфигурацию, которая может стать несколько более понятной для вас, если вы соотнесете элементы развернутой сети на любой из карт с их расположением на проекции Саммона. Для этого выберите одну из ячеек на любой карте, например, на матрице плотности попадания. На проекции Саммона будет выделена та же ячейка.

В каких областях на проекции Саммона находятся угловые элементы двухмерной сети?

Сложно сказать, является ли сеть скорее «расправленной» или «скомканной». Вообще, трудно предположить, как должна быть распределена двухмерная сеть, чтобы верно отразить размещение данных текущего примера в трехмерном пространстве. Вероятно, удовлетворительного ответа на этот вопрос не существует.

Поскольку мы знаем, что элементы расположены тремя крупными слоями, можно попытаться при настройке кластеров указать их фиксированное число, равное трем. Если сеть все же способна воспринять слои как кластеры, то в каждом из них, скорее всего, окажется по 500 элементов. Впрочем, теоретически возможно попадание некоторых элементов в соседний кластер. Необходимо оценить, попали ли в каждый из трех кластеров преимущественно данные одного слоя или нет.

Это удобно сделать следующим образом. Настройте кластеры на их фиксированное количество, равное трем. На вкладке «Карта Кохонена» при помощи кнопки «Показать/скрыть окно данных» отразите окно данных. В нем установите фильтрацию по кластеру. Теперь при выборе одного из кластеров в поле «Номер строки» вы увидите число образцов в кластере в формате «1/501», где первая цифра – номер строки, а вторая – количество образцов в кластере. Кроме того, по таблице вы можете проконтролировать, образцы с какими значениями С попали в кластер. Если отсортировать записи по столбцу С, то, основываясь на номерах строк, можно подсчитать число элементов каждого слоя исходного множества в кластере. Данные по количеству образцов есть смысл свести в таблицу.

	Кластер 0	Кластер 1	Кластер 2
Нижний слой 0≤С≤2
Средний слой 4≤С≤6
Верхний слой 8≤С≤10

Если кластеры будут строго соответствовать слоям, то картина будет выглядеть следующим образом.

	Кластер 0	Кластер 1	Кластер 2
Нижний слой 0≤С≤2	500
Средний слой 4≤С≤6		500
Верхний слой 8≤С≤10			500

Разумеется, номер кластера является условной величиной и для оценки распределения не имеет никакого значения.

Заполните таблицу. Можно ли сказать, что распределение образцов по кластерам в целом соответствует слоям множества образцов?

Скорее всего, вам не удастся получить адекватное отражение слоев в кластерах. Вероятно, это связано со сложной структурой размещения образцов.

Попробуйте уменьшить число измерений исходного множества. Для этого постройте и обучите сеть Кохонена на тех же данных, но столбец В при этом исключите из числа входных. Таким образом, речь будет идти о двухмерном пространстве образцов. Однако главное преимущество состоит не в том, что размерность пространства образцов соответствует размерности карт Кохонена, а в том, что на таком пространстве сеть теоретически может развернуться наилучшим образом.

Вероятно, число автоматически выделенных кластеров и в этом случае не будет равно трем. Однако на матрице расстояний вы сможете хорошо увидеть четкие линии, возникшие из-за растягивания межъячеечных связей на пустых участках множества образцов. Заметно, что они делят карту на три части.

Но будут ли границы кластеров проходить по этим линиям больших межнейронных расстояний? Можно заметить, что отчасти границы проходят именно по этим линиям, отчасти – нет.

Установите количество кластеров равным 3. Прошли ли границы кластеров по линиям больших межнейронных расстояний?

Как и в предыдущем случае, выделить кластеры, соответствующие слоям, не удается. Посмотреть, какие образцы вошли в какой кластер, можно на диаграмме размещения. Установите в качестве осей Х и Y соответственно факторы А и С, а в поле «Цвет объекта» установите вариант «Номер кластера». Теперь вы увидите, в какие кластеры попали образцы. Они не полностью совпадают со слоями исходного множества.

Причину этого можно пояснить на диаграмме размещения образцов.

Можно увидеть, что точка 1 расположена значительно ближе к точкам 2 и 3, нежели к точке 4, размещенной в том же слое.

Таким образом, фактор А, равно как и фактор В, хотя их значения являются случайными и плохо подходят для кластеризации, существенно влияют на результаты общей кластеризации.

Для того, чтобы избавиться от столь существенного влияния незначащего фактора, можно прибегнуть к его нормированию на более коротком интервале, нежели единичный отрезок (0-100%). Попробуйте повторить предыдущее обучение, пронормировав А на интервале 0-10%.

Удается ли в данном случае, установив фиксированное количество кластеров, равным 3, добиться совпадения их состава с составом слоев?

Однако метод неодинакового нормирования применим лишь в том случае, когда нам заранее известна значимость каждого из образцов. Он также сомнителен в случае, когда показатели имеют различные единицы измерения и границы интервалов.

Другой способ – исключить излишние факторы. Попробуйте построить сеть на основе только одного фактора С.

Получается ли у вас в этом случае деление на кластеры, соответствующие слоям?

На примере данного задания можно убедиться, что в случае с картами Кохонена, в отличие от некоторых других концепций нейронных сетей, избыточный выбор входных факторов может привести к кардинальным последствиям. Незначащие факторы не отбрасываются сами собой в ходе обучения, а наоборот, оказывают существенное влияние на результаты кластеризации.