4.4. Математическое ожидание и дисперсия среднего арифметического n независимых случайных величин

Пусть имеем независимых случайных величин: с математическими ожиданиями соответственно.

Пусть – случайная величина, которая равна:

.

Согласно свойствам математического ожидания имеем:

, (4.8)

то есть математическое ожидание среднего арифметического случайных величин равно среднему арифметическому их математических ожиданий.

Пусть – дисперсии этих случайных величин и .

Согласно условию получим:

, (4.9)

то есть дисперсия среднего арифметического независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, в раз меньше наибольшей дисперсии.

Если случайные величины одинаково распределены, то есть:

и

Тогда , , (4.10)

то есть математическое ожидание одинаково распределенных случайных величин равно их общему математическому ожиданию, а дисперсия – в раз меньше их общей дисперсии.

Отсюда имеем: , то есть среднее квадратическое отклонение среднего арифметического независимых одинаково распределенных случайных величин равно .

4.5. Основные законы распределения дискретных случайных величин

Задать закон распределения случайной величины, значит задать ее ряд распределения, то есть указать возможные значения случайной величины и их вероятности. В зависимости от способа вычисления вероятностей различают законы распределения.

Биномиальное распределение

Пусть происходит независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна . Обозначим через число испытаний, в которых событие появилось. Случайная величина может принимать значения . Вероятность того, что случайная величина примет значение можно вычислить по формуле Бернулли (4.1), то есть:

, (4.11)

где .

Закон распределения, в котором вероятность случайной величины вычисляется по формуле Бернулли, называется биномиальным законом распределения.

Данный закон распределения имеет вид:

	0	1	2	…
				…

Если – большое число, то вероятности вычисляются по формуле Муавра – Лапласа: , где .

Найдем числовые характеристики биномиального закона распределения. Случайную величину можно рассматривать как сумму независимых одинаково распределенных случайных величин с рядом распределения:

	0	1

где – появление события в -ом опыте, то есть , если событие появилось, и , если событие не появилось.

Тогда .

Поскольку математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий, то:

. (4.12)

Дисперсия случайной величины равна:

Поскольку дисперсия суммы случайных величин равна сумме их дисперсий, то:

. (4.13)

Среднее квадратическое отклонение биномиального распределения определяется формулой:

. (4.14)

Пример 4. Вероятность сдачи экзамена на «5» для каждого из трех студентов равна 0,4. Составить закон распределения количества отличных оценок, полученных студентами на экзамене. Найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение.

Дискретная случайная величина (количество студентов, которые получили «5») имеет такие возможные значения:

(ни один студент не сдал экзамен на «5»);

(один студент сдал экзамен на «5»);

(два студента сдали экзамен на «5»);

(три студента сдали экзамен на «5»).

Сдача экзамена на «5» студентами – события независимые, вероятности сдать экзамен каждым студентом одинаковые, поэтому используем формулу Бернулли.

По условию задачи , , .

Тогда:

если , то ;

если , то ;

если , то ;

если , то .

Закон распределения случайной величины имеет вид:

	0	1	2	3	, .
	0,216	0,432	0,288	0,064

По формулам (4.12), (4.13) получим: ; ; .

Закон распределения Пуассона

Если достаточно велико, а вероятность очень мала, то вероятность того, что случайная величина примет значение вычисляют по формуле Пуассона:

. (4.15)

Закон распределения в этом случае называют законом распределения Пуассона.

Данный закон распределения имеет вид:

	0	1	2	…		, где .
				…

Определим числовые характеристики случайной величины, распределенной по закону Пуассона.

Поскольку закон Пуассона является предельным для биномиального закона при достаточно больших и достаточно малых , то математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, определяются по формулам:

, . (4.16)

Таким образом, .

Пример 5. Составить закон распределения случайной величины если в 1 000 независимых испытаниях событие появляется с вероятностью 0,001. Найти и .

Решение.

Имеем независимые испытания с одинаковой малой вероятностью и большим числом испытаний . Поэтому вероятности появления каждого отдельного значения вычислим по формуле (4.15) при .

Возможные значения случайной величины :

Запишем закон распределения величины :

	0	1	2	3	4	5	6
	0,36788	0,36788	0,18394	0,06131	0,01533	0,00306	0,00051

.

Для вычисления математического ожидания и дисперсии используем формулу (4.16):

.

Лекция 5. Непрерывные случайные величины.

Функция и плотность распределения

вероятностей. Числовые характеристики

5.1. Определение непрерывных случайных величин

Случайную величину называют непрерывной, если ее возможные значения заполняют некоторый числовой интервал. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Непрерывная случайная величина характеризуется двумя функциями:

1) функцией распределения вероятностей (интегральной функцией распределения);

2) плотностью распределения вероятностей (дифференциальной функцией распределения).

Случайная величина называется также непрерывной, если ее функция распределения непрерывна и дифференцируема.