2.3.6. Моделирование пуассоновского потока
Закону Пуассона подчиняются многие процессы — число сообщений, поступающих на телефонные, телеграфные станции, число заказов на вычислительный центр, число заявок на обслуживание на предприятиях быта и т.д. Закон Пуассона описывает дискретные события, выражаемые числом поступивших заказов, заявок. Он тесно связан с показательным законом, а именно, если время между поступлениями двух сложных заявок описывается доказательным законом, то число таких заявок за определенный/интервал времени описывается законом Пуассона. Для него характерны следующие свойства.
1. Стационарность, когда вероятность попадания того или иного числа событий на участок Х (например, на участок времени τ ) зависит только от длины участка и не зависит от места расположения данного локального участка на общем участке X.
2. Ординарность, при которой вероятность попадания двух или более заявок на элементарный участок ΔХ→0 пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.
3. Отсутствие последствия, когда для любых двух неперекрывающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.
Поток Пуассона играет среди потоков сообщений заявок особую роль. Известно, что при суммировании большого числа случайных величин, получается величина, распределенная по нормальному закону. Аналогично, при наложении большого числа ординарных стационарных потоков с любым последствием получается пуассоновский поток.
Поток Пуассона характеризуется следующим выражением для вероятности наступления К событий:
(2.
8)
где К — число событий, a — параметр потока.
Для участка x a = λx , и где λ — интенсивность наступления событий. Соответственно
(2.9)
Для вероятности, когда участок Х окажется пустым, т.е. К = 0, выражение (2.9) принимает вид
P(0) = P0 = e-x. (2. 10)
Из (2.10) следует, что вероятность Р0 является противоположным событием по отношению к интегральной функции распределения случайной величины по показательному закону
P0 = 1 – F (x).
Математическое ожидание и дисперсия такого распределения определяются выражениями:
откуда
D = 1/2 (2.12)
= 1/ (2.13)
Из свойства отсутствия последствия пуассоновского потока следует аналогичное свойство показательного закона. Если промежуток времени, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время τ, то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка F (τ) ( t )
(2.14)
Имитационное моделирование (розыгрыш) числа (К) событий, образующих пуассоновский поток с параметром λ на участке Х производится в следующей последовательности (при начальном задании исходных данных λ, К=0).
Разыгрывается случайное число r1, по которому находится величина X1.
Согласно выражению (2.3), X1 = — ( 1 / λ) ln r1.
Осуществляется проверка Х1<X.
Вычисление этого условия означает, что первое событие попало внутрь участка X. Текущее значение счетчика числа попавших внутрь участка Х событий К увеличивается на 1 (К=1). Затем разыгрывается следующее случайное число r2 , по которое находится X2. Проводится проверка условия ( Х1 + Х2 ) < X . При выполнении этого условия значение К вновь увеличивается (К=2) и процесс вновь повторяется.
При нарушении условия
фиксируется разыгранное значение числа
событий, попавших на участок Х (К = i).
Блок-схема алгоритма описанного процесса
приведена на рис.2.11.