Тема 2.3. Добуток векторів

1. Сформулюйте означення скалярного добутку векторів. Властивості скалярного добутку.

2. Як виразиться скалярний добуток векторів через їхні проекції на осі координат?

3. Сформулюйте необхідну і достатню умови взаємної перпендикулярності двох векторів. Як виразиться ця умова в координатній формі?

4. Запишіть формулу за якою обчислюється кут між двома векторами.

5. Сформулюйте означення векторного добутку векторів і назвіть його основні властивості.

6. Сформулюйте необхідну і достатню умови колінеарності двох векторів.

7. Як виразиться векторний добуток через їхні проекції на осі координат?

8. Який геометричний зміст векторного добутку?

9. Сформулюйте означення мішаного добутку трьох векторів.

10. Як виразиться мішаний добуток векторів через їхні проекції на осі координат?

11. Які властивості має мішаний добуток? Який його геометричний зміст?

12. Сформулюйте необхідну і достатню умови компланарності трьох векторів, виражену через їх мішаний добуток.

Тема 2.4. Пряма на площині

1. Що називається напрямним вектором прямої?

2. Скласти рівняння прямої, що проходить через задану точку паралельно заданому вектору.

3. Вивести канонічні та параметричні рівняння прямої на площині.

4. Вивести рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом та рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

5. Вивести рівняння прямої у відрізках на осях та загальне рівняння прямої.

6. Довести, що довільне рівняння Аx+By+C=0 визначає на площині Oxy пряму лінію. Дослідити загальне рівняння прямої.

7. Як знайти кут між прямими? Сформулювати і записати умови паралельності та перпендикулярності двох прямих.

8. Вивести формулу для знаходження відстані точки від прямої.

Тема 2.5. Площина у просторі

1. Довести, що кожна площина може бути виражена лінійним рівнянням відносно прямокутної системи координаті, навпаки, кожне лінійне рівняння з трьома невідомими визначає у просторі площину.

2. Записати і дослідити загальне рівняння площини.

3. Вивести рівняння площини, яка проходить через три задані точки.

4. Вивести рівняння площини у відрізках на осях.

5. Як обчислюється кут між двома площинами? Які умови паралельності і перпендикулярності двох площин?

6. Вивести формулу для обчислення відстані від точки до площини.

Тема 2.6. Пряма у просторі

1. Вивести канонічні та параметричні рівняння прямої у просторі і рівняння прямої, що проходять через дві задані точки.

2. Написати загальне рівняння прямої. Як перейти від загального рівняння прямої до параметричного і канонічного.

3. Як знайти кут між двома прямими в просторі? Написати умови паралельності та перпендикулярності прямих.

4. Як знайти кут між прямою і площиною? Які умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини?

Тема 2.6. Лінії другого порядку

1. Що називається лінією другого порядку?

2. Що називається колом? Вивести рівняння кола з центром в точці

М₀ (x_0, y₀).

3. Що називається еліпсом? Вивести канонічне рівняння еліпса.

4. Дослідити форму еліпса, заданого канонічним рівнянням і, побудувати його.

5. Що називається гіперболою? Вивести канонічне рівняння гіперболи.

6. Дослідити форму гіперболи, заданої канонічним рівнянням, і побудувати її.

7. Вивести рівняння асимптот гіперболи.

8. Що називається фокальним радіусом, ексцентриситетом і директрисою еліпса, гіперболи?

9. Що називається параболою? Вивести канонічне рівняння параболи і дослідити її форму.

10. У чому полягає загальна особливість директрис еліпса, гіперболи і параболи? Дати загальне означення цих кривих.