Лабораторная работа № 3 Нахождение характеристик геометрических тел с помощью средств векторной алгебры
Вопросы по теме
Опишите координатный метод решения задачи о делении отрезка в заданном отношении.
Введите понятие: проекция вектора на заданное направление. Приведите формулу для вычисления проекции вектора на заданное направление.
Приведите формулы для вычисления: длины вектора, угла между векторами, площади параллелограмма, сторонами которого являются два неколлинеарных вектора, площади треугольника, у которого заданы координаты вершин.
Как найти вектор, перпендикулярный к двум заданным неколлинеарным векторам?
Как найти объём пирамиды, если заданы координаты её вершин?
Примеры решения задач
1. Даны вершины треугольника A(6; 5; 5), B(9; 6; 2), C(8; 7; 2).
Найти:
а) длины сторон треугольника;
б) координаты точки пересечения медиан;
в) углы треугольника;
г) вектор, ортогональный плоскости треугольника и площадь треугольника;
д) длины высот треугольника;
е) проекцию вектора
на вектор
;
Вычисления проводить с помощью MathCad.
Решение.
а) Вычислим координаты
и длину векторов
в среде MathCad. Напомним, что векторы надо
представлять в виде столбцов:
б) Пусть AA1 и BB1 медианы треугольника. Воспользуемся тем, что координаты середины отрезка равны половине суммы соответствующих координат концов отрезка. Найдём координаты точки A1:
Обозначим M точку пересечения медиан и воспользуемся свойством медиан: точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2:1, т.е. AM=2MA1. В координатной форме это условие примет вид:
Разрешив эти уравнения относительно неизвестных координат токи M, получим:
Найдём координаты точки M в MathCad:
.
в) Обозначим углы треугольника: φA, φB, φC.
Воспользуемся формулой:
,
где φ угол между векторами
и
.
Вычисления в MathCad:
г) Вектор, ортогональный
к плоскости треугольника можно получить,
вычислив векторное произведение векторов
и
.
Обозначим вектор, ортогональный плоскости
треугольника
.
Площадь треугольника
.
В среде MathCad:
д) Напомним, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Обозначим высоты треугольника h1, h2, h3. Тогда S=0.5∙AB∙ h1=0.5∙BC∙ h2=0.5∙AC∙ h3.
В среде MathCad:
.
е) Проекцию вектора на вектор вычисляют по формуле:
.
Вычислим средствами MathCad:
.
Следовательно,
.
2. Даны координаты вершин пирамиды
A(1; 2; 1), B(2; 2; 5), C(3; 1; 1), D(1; 0; 3).
Найти:
а) длину ребра AB;
б) угол между рёбрами AB и AC;
в) плошадь грани ABC;
г) объём пирамиды;
д) высоту пирамиды, опущенную из вершины D на грань ABC;
е) угол между ребром AD и гранью ABC.
Вычисления проводить с помощью MathCad.
Решение.
а) длина ребра AB:
б) угол между рёбрами AB и AC:
в) площадь грани ABC:
г) объём пирамиды равен
одной шестой части от модуля смешанного
произведения векторов
,
и
:
д) высоту пирамиды
можно найти, воспользовавшись формулой
:
.
Задания для самостоятельной работы
1. Даны вершины треугольника
A(m+1; n+1; 5), B(m; n; 2), C(m; n; 2).
Найти:
а) длины сторон треугольника;
б) координаты точки пересечения медиан;
в) углы треугольника;
г) вектор, ортогональный плоскости треугольника и площадь треугольника;
д) длины высот треугольника;
е) проекцию вектора на вектор ;
Вычисления проводить с помощью MathCad.
2. Даны координаты вершин пирамиды
A(m+1; n; m), B(n ; m+1; n), C(n ; m; mn), D (m ; n; m+ n).
Найти:
а) длину ребра AB;
б) угол между рёбрами AB и AC;
в) плошадь грани ABC;
г) объём пирамиды;
д) высоту пирамиды, опущенную из вершины D на грань ABC;
е) угол между ребром AD и гранью ABC.
Вычисления проводить с помощью MathCad.