Семинар 3.
Тема: Проверка гипотез о параметрах для основных моделей распределений.
Обозначения:
-основная
гипотеза
-конкурирующая
гипотеза
-
вероятность ошибки первого рода (размер
критерия)
W- критическая область (область отвержения основной гипотезы)
- квантиль нормального распределения
- квантиль распределения Стьюдента с n степенями свободы
- квантиль распределения «хи-квадрат» с n степенями свободы
- квантиль распределения Фишера с n и m степенями свободы
Нормальное(гауссовское) распределение
-известно.
Две простые гипотезы:
Вероятность ошибки второго рода и необходимый объем выборки:
Сложные альтернативы:
-не известно.
-известно.
Две простые гипотезы:
Вероятность ошибки второго рода и необходимый объем выборки:
Сложные альтернативы:
-неизвестно.
Две простые гипотезы:
Вероятность ошибки второго рода и необходимый объем выборки:
Сложные альтернативы:
Критерии однородности для нормального распределения.
-известны.
-неизвестны.
-известны.
-неизвестны.
Экспоненциальное (показательное) распределение.
.
Две простые гипотезы:
Вероятность ошибки второго рода и необходимый объем выборки:
Сложные альтернативы:
Критерий однородности для экспоненциального распределения.
Ауд.
Задача 1. Случайные величины имеют нормальное распределение со средним и дисперсией .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1,9 |
-1,3 |
1,6 |
-1,3 |
1,4 |
-0,9 |
0,8 |
4,9 |
3,5 |
0,4 |
|||||||||
а)
Проверить гипотезу
при альтернативе
.
Вероятность ошибки первого рода
.
б)
Построить критерий проверки гипотезы
при альтернативе
.
Дисперсия предполагается известной
.
в) Проверить эти же гипотезы в предположении, что дисперсия неизвестна.
Задача 2. Для выборки из задачи1
а)
Проверить гипотезу
при альтернативе
.
Вероятность ошибки первого рода
.
Выписать формулу для вероятности ошибки
второго рода, а так же формулу для
нахождения минимального объема выборки,
обеспечивающего заданные вероятности
ошибок первого и второго рода.
б)
Построить критерий проверки гипотезы
при альтернативе
.
в)
Проверить эти же гипотезы в предположении,
что известно среднее значение
.
(
).
Задача 3. Выборка имеет экспоненциальное распределение с параметром :
|
0,3 |
1,3 |
0,2 |
2,4 |
1,2 |
1,7 |
2,2 |
0,2 |
1,3 |
4,2 |
( ).
а)
Проверить гипотезу
при альтернативе
.
Вероятность ошибки первого рода
.
Выписать формулу для вероятности ошибки
второго рода, а так же формулу для
нахождения минимального объема выборки,
обеспечивающего заданные вероятности
ошибок первого и второго рода
б)
Построить критерий проверки гипотезы
при альтернативе
.
Задача
4. Даны две
выборки, имеющие нормальное распределение:
и
.
Выборочные характеристики оказались
равными
.
а)
Проверить гипотезу
при альтернативе
в предположении,
.
Вероятность ошибки первого рода
.
в)
Проверить гипотезу
при альтернативе
в предположении, что дисперсии выборок
неизвестны, но совпадают
.
Вероятность ошибки первого рода
.
Задача
5. В одинаковых
условиях проведено
независимых испытаний, из которых
завершились
успехом. Построить приближенный критерий
проверки гипотезы о том, что вероятность
успеха равна 0,5. Вероятность ошибки
первого рода
.
Дома:
Задача
1. В условиях
Задачи 1(семинары), используя таблицы
Excel,
найти вероятность ошибки второго рода.
При каком объеме выборки ошибка второго
рода
.
Дисперсия предполагается известной
.
Задача 2. В условиях Задачи 3 а)(семинары), используя таблицы Excel, найти вероятность ошибки второго рода. При каком объеме выборки ошибка второго рода .
Задача
3. Даны две
выборки, имеющие нормальное распределение:
и
.
Выборочные характеристики оказались
равными
.
а)
Проверить гипотезу
при альтернативе
.
Вероятность ошибки первого рода
.
б)
Проверить гипотезу
при альтернативе
.
Вероятность ошибки первого рода
.
в) Проверить гипотезу при альтернативе . Вероятность ошибки первого рода .
г)
Проверить гипотезу
при альтернативе
.
Вероятность ошибки первого рода
.