4.3.3 Свойства определителей.

1. Если все строки (столбцы) определителя заменить соответствующими столбцами (строками), то величина определителя не изменится.

2. При перестановке двух строк (столбцов) знак определителя изменится на противоположный.

3. Общий множитель элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

4. Определитель равен нулю, если:

а) содержит нулевую строку (столбец);

б) содержит одинаковые строки (столбцы);

в) содержит пропорциональные строки (столбцы);

а)

5. Если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любое, не равное 0, число, то величина определителя не изменится.

Эти свойства определителей иногда позволяют упростить их вычисление:

4.4. Вычисление обратной матрицы

Теперь, изучив определители, можем перейти к вычислению обратной матрицы.

Определение:

М атрицей обратной к матрице А называется такая матрица А^-1 что выполняется равенство: А*А^-1 = А^-1*А = Е.

Но определение не даёт практического способа её вычисления. Для этого используется формула обратной матрицы:

, где ∆ - определитель данной матрицы, - матрица алгебраических дополнений, ( )^Т-транспонированная по отношению к А.

= , где А_ij = (-1)^i+j*M_ij, M_ij - определитель,

полученный из ∆ вычёркиванием строки «i» и столбца «j»

Пример:

Пусть дана матрица А =

1) Вычисляю определитель: , следовательно, обратная матрица существует.

2) Вычисляю матрицу алгебраических дополнений :

=

3) Составляю транспонированную матрицу: ( )^Т=

4) А^-1= -

6. Проверю, что выполняется А^-1*А = Е:

= Е

Проверьте самостоятельно, что А* А^-1=Е.

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

Вычислить определитель Δ данной матрицы. Составить матрицу алгебраических дополнений, вычислив : Транспонировать полученную матрицу. Вычислить обратную по формуле

4.5. Системы линейных уравнений

Рассмотрим линейную систему «n» уравнений с «n» неизвестными:

(1)

Определение:

Р ешением системы (1) называется упорядоченный набор чисел (а₁;а₂;…;а_n), при подстановке которого в уравнения системы получаются верные числовые равенства.

Решить систему – это значит: 1) выяснить, есть ли решение;

2) если нет, то обосновать это;

3) если есть, то - сколько; какие.

При решении систем типа (1) возможны следующие ситуации:

а) система имеет единственное решение; б) система не имеет решений; в) система имеет бесконечное множество решений.

Из школьной программы вам известны способ подстановки, способ сложения. Рассмотрим некоторые способы, позволяющие решать системы с большим, чем 2, количеством уравнений и неизвестных.

Будем рассматривать системы 3 уравнений с 3 неизвестными.

4.5.1. Правило Крамера

Если главный определитель системы «n» уравнений с «n» неизвестными

не равен 0, то:

1) система имеет

2) единственное решение,

3) которое можно найти по формулам:

i=1,2,…,n

Здесь

В системе (2)

главным определителем называется число

Для системы (2) решение имеет вид:

Примеры:

1)

Ответ:

2)

Решите самостоятельно: