Требования к математической модели

Требования к модели определяются исходя из ее основного свойства - модель должна обладать существенными признаками объекта моделирования и быть работоспособной.

Адекватность - качественное и количественное совпадение именно тех характеристик модели с объектом, которые важны в данном конкретном случае, и в той мере, в которой это достаточно для достижения цели исследования (степень соответствия действительности предсказаний, сделанных на основе модели исходя из целей моделирования).

Вопрос, что является для данной модели существенным, а что нет, решается неформально на основе качественного анализа и с помощью количественных вычислений при проверке модели.

Оценка адекватности математической модели – определяется степень соответствия результатов, полученных по разработанной модели, данным эксперимента (в том числе вычислительного) или тестовой задачи.

Качественная адекватность модели (адекватность функционального описания) - соответствие характера реакции системы и модели на изменения входных параметров. Качественная адекватность предполагает оценку совпадения с экспериментальными данными (вычислительным экспериментом) вида функции (убывающая или возрастающая, с одним или несколькими экстремумами).

Качественной адекватность обеспечивается достоверностью модели.

Достоверность (полнота) модели: отражение в достаточной мере именно тех характеристик и особенностей моделируемого объекта, которые соответствуют поставленной цели исследования.

С понятием достоверности связано, прежде всего, понятие упрощенности моделей – приближенность отображения действительности моделью исходя из целей исследований.

Количественная адекватность модели (мера адекватности) оценивается в зависимости от заданной точности решения задачи (определяется целью исследований) - осуществляется оценка принятых гипотез и допущений для различных начальных условий. Модель считается адекватной, если она отражает заданные свойства объекта с приемлемой точностью (с относительной погрешностью не более некоторого заданного значения).

Требование достоверности вынуждает строить модель как можно более полную, точную – учитывать больше факторов на каждом уровне, увеличивать количество уровней иерархии.

Требование реализуемости модели заставляет сокращать число учитываемых факторов, что приводит к необходимости их ранжирования по степени влияния на точность исследований при решении конкретной задачи.

Чувствительность модели – соответствие изменения выходных переменных незначительным изменениям входных переменных модели. Чувствительность означает, что при небольшом изменении входных параметров происходит такое изменение показателей свойств системы, которое можно обнаружить в условиях погрешности вычислений.

Виды контроля модели.

Контроль соответствия значений переменных их физическому смыслу: знаки и величины переменных модели не должны противоречить возможным значениям моделируемых физических величин.

Контроль размерностей: сравниваться и складываться могут только величины одинаковой размерности, эта проверка сочетается с контролем использования одной и той же системы единиц для значений всех параметров.

Контроль порядков: выделение основных и уточняющих слагаемых - сравниваются порядки складываемых величин и исключаются малозначимые параметры.

Контроль характера зависимостей между переменными: выявление качественного совпадения вида модельных зависимостей с видом аналогичных зависимостей в реальной системе (направления и скорость изменения выходных параметров модели соответствуют физическому смыслу моделируемой системы).

Контроль экстремальных ситуаций: в подобных ситуациях поведение модели должно совпадать с поведением системы.

Контроль граничных условий: проверка того, что граничные условия наложены, и значения выходных параметров модели удовлетворяют заданным условиям.

Контроль устойчивости модели: изменение в определенных пределах параметров модели не вызывает качественного изменения ее свойств. Причинами низкой устойчивости модели могут быть деление на малую по модулю величину, вычитание близких друг к другу приближенных значений величин, введение дополнительных параметров, известных с невысокой точностью.

Контроль математической замкнутости: проверка того, что выписанная система математических соотношений дает возможность, притом однозначно, решить поставленную математическую задачу: число независимых уравнений должно быть равно числу искомых параметров задачи. Решение считается непрерывным, если малому изменению исходных данных соответствует достаточно малое изменение решения.

Математическая модель является корректной, если для нее осуществлен и получен положительный результат всех контрольных проверок: размерности, порядков, характера зависимостей, экстремальных ситуаций, граничных условий, физического смысла и математической замкнутости.

Проверка адекватности модели преследует две цели: убедиться в справедливости принятых при моделировании гипотез и установить, что точность полученных результатов позволяет выполнить цели исследования.

Неадекватность результатов может быть по трем причинам:

- значения задаваемых параметров не соответствует допустимой области этих параметров, определяемой принятой системой гипотез (например, силы сопротивления воздуха могут быть существенными при больших скоростях движения тела);

- константы и параметры могут быть не точными (ускорение свободного падения g может быть уточнено в зависимости от широты);

- неверна исходная совокупность гипотез.

Необходимы последовательный анализ всех причин и оценка степени адекватности.

Степень (мера) адекватности определяется исходя из необходимости решения задачи с заданной точностью.

При необходимости математическая модель уточняется и корректируется. Этапы многократно повторяются, проводятся вычислительные эксперименты до тех пор, пока не будет найдена математическая модель, адекватная поставленным целям и задачам исследований, пока не будет достигнута гарантированная точность вычислений.

Модель позволяет на основании закона, в соответствии с которым система переходит из одного состояния в другое, определить множество возможных состояний системы (фазовые координаты). Оператор модели обеспечивает определение по заданным входным параметрам значения выходных параметров системы.

Совокупность правил, образующих алгоритм, должна обладать следующими свойствами:

- полнота: в процессе решения задачи не может возникнуть ситуация, для которой отсутствует указание относительно дальнейших действий;

- однозначность: каждое правило, образующее алгоритм, можно понимать лишь единственным образом;

- непротиворечивость: предписания алгоритму не должны противоречить или взаимоисключать друг друга;

- массовость: возможность использования алгоритма на всем множестве возможных численных значений исходных величин;

- результативность: способность для любых допустимых исходных величин получать результат за конечное число шагов.