2.3 Методические указания к выполнению расчетно-графической работы

2.3.1 Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

1. По данной выборке построить эмпирическое распределение в виде последовательности равноотстоящих вариант и соответствующих им частот, для чего:

а) упорядочить выборку по возрастанию, найти ;

б) весь интервал, в который попали опытные данные, разбить на r частичных интервалов одинаковой длины. Для определения длин частичных интервалов рекомендуется формула

. (8)

За длину частичного интервала принимается некоторое удобное число, ближайшее к полученному значению Границы интервалов выбираются так, чтобы результаты измерений не совпали с границами интервалов. Начало первого интервала сдвинуть влево от значения (например, взять - 0,5);

в) для каждого частичного интервала найти - сумму частот вариант и считать, что сосредоточено в середине i-го интервала, т.е. взять .

2. Построить гистограмму частот.

3. Найти выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение S по формулам:

(9)

4. Найти теоретические частоты , попавшие в i - ый интервал, по формуле (3);.

5. Вычислить наблюдаемое значение критерия по формуле (1);

6. По таблице - распределения при уровне значимости =0,05 и числе степеней свободы k найти критическое значение (приложение 5).

7. Сравнить два значения и . Если , то нулевая гипотеза не отвергается, т.е. в этом случае отклонения от предполагаемого теоретического закона считаются незначительными. Если > , то нулевая гипотеза отвергается.

Пример 1 Контролировался диаметр у 150 цапф передней оси, изготовленных на токарном станке. В результате были получены следующие значения положительных отклонений в микронах (мк) от номинального размера 20 мк:

48	39	43	36	39	34	32	48	46	37
25	31	34	36	35	37	45	49	49	44
43	46	34	48	43	36	41	34	42	35
38	40	46	34	39	41	38	39	36	42
30	43	41	39	37	33	35	42	45	43
37	42	38	40	34	39	32	40	39	37
43	30	44	45	37	34	49	41	51	32
37	30	50	32	32	35	45	42	41	48
43	45	44	46	42	39	41	38	31	32
40	52	45	47	35	45	33	38	36	40
44	52	44	34	44	44	43	43	40	30
32	42	49	39	42	43	48	41	43	42
40	48	35	42	44	44	34	33	48	51
44	50	47	34	33	33	40	46	50	43
44	50	40	40	35	35	41	42	42	47

Проверить согласие нормального закона распределения с опытными данными по критерию Пирсона при уровне значимости .

Решение

1.Случайную величину (отклонения от номинального размера) обозначим

Из выборки приведённого примера находим: .

Вычисляем: .

Возьмём длину частичного интервала 3мк. Левый конец первого интервала возьмём 24,5мк. Из данной выборки найдём число опытных данных, попавших в каждый частичный интервал.

Полученные данные сведём в таблицу 1.

Таблица 1

i			№
1	24,5 - 27,5	1	6	39,5 - 42,5	30
2	27,5 - 30,5	4	7	42,5 - 45,5	29
3	30,5 - 33,5	13	8	45,5 - 48,5	16
4	33,5 - 36,5	23	9	48,5 - 51,5	10
5	36,5 - 39,5	22	10	51,5 - 54,5	2

2. Для каждого частичного интервала найдем :

Вычислим значения и S по формулам (9); расчеты поместим в таблицу 2.

Таблица 2

i
1	24,5-27,5	26	1	676	26	676
2	27,5-30,5	29	4	841	116	3364
3	30,5-33,5	32	13	1024	416	13312
4	33,5-36,5	35	23	1225	805	28175
5	36,5-39,5	38	22	1444	836	31768
6	39,5-42,5	41	30	1681	1230	50430
7	42,5-45,5	44	29	1936	1276	56144
8	45,5-48,5	47	16	2209	752	35344
9	48,5-51,5	50	10	2500	500	25000
10	51,5-54,5	53	2	2809	106	5618
∑			150		6063	249831

Находим : .

3. Построим гистограмму частот (рис.4)

Рис.4

По виду гистограммы (рис.4) можно предположить, что исследуемый признак подчиняются нормальному закону распределения.

4. Найдем теоретические частоты по формуле (3) при n=150, =40,4, S=5,8:

.

В первом интервале левый конец изменим на , а в последнем интервале - правый конец на . Таким образом, первый интервал будет , а последний . Значения функции находятся из таблицы (приложение 7). При этом нужно учесть, что , и для >5 значение =0,5.

Приведем пример расчета значения :

и так далее.

Расчёты для нахождения критерия приведёны в таблице 3.

Таблица 3

i
1 2	27,5 27,5 30,5											0,39
3	30,5 33,5			13		11						0,36
4	33,5 36,5			23		20,2						0,39
5		36,5 39,5	22			27,8					2,8
6		39,5 42,5	30			30,6					1,21
7		42,5 45,5	29			24,4					2,45
8		45,5 48,5	16			15,4					1,49
9 10		48,5 51,5 51,5									0,00
∑			150			150					=3,26

5. Число интервалов с учетом объединения частот равно 8. Проверку гипотезы о нормальном распределении проводим при уровне значимости = 0,05 и числе степеней свободы, равном Из таблицы ( приложение 5) находим

В нашем примере , т.е. .

Следовательно, опытные данные согласуются с нормальным законом распределения. На гистограмму наложим теоретическую кривую, полученную в соответствии с нормальным законом распределения.

6. Для построения нормальной кривой по опытным данным находим ординаты (выравнивающие частоты ) по формуле

Значения функции находим в таблице приложения 6.

Вычислим выравнивающие частоты для нашего примера. Имеем

Результаты вычислений поместим в таблицу 4.

Таблица 4

i
1	26	1	-2,48	0,02	1,6
2	29	4	-1,96	0,05	3,9
3	32	13	-1,45	0,14	10,8
4	35	23	-0,94	0,26	20,2
5	38	22	-0,41	0,37	28,7
6	41	30	0,10	0,39	30,3
7	44	29	0,62	0,33	25,6
8	47	16	1,14	0,21	16,3
9	50	10	1,66	0,09	7,0
10	53	2	2,17	0,04	3,1

В прямоугольной системе координат строим точки и соединяем их плавной кривой (рис.5). Близость выравнивающих частот к наблюдаемым подтверждает правильность допущения о том, что исследуемый признак распределен нормально.

Рис.5

Пример 2

Эмпирическое распределение выборки объема n=100 приведено в таблице 5.

Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0.05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности Х c эмпирическим распределением выборки .

Таблица 5

i			i
1	3 - 8	6	5	23 -28	16
2	8 - 13	8	6	28 -33	8
3	13 - 18	15	7	33 -38	7
4	18 - 23	40

Решение

1. Построим гистограмму(рис.6)

Рис.6

2. Для каждого частичного интервала найдем :

Вычислим значения и S по формулам (9); расчеты поместим в таблицу 6.

Таблица 6

i
1	3 - 8	5,5	6	30,25	36	181,5
2	8 -13	10,5	8	110,25	84	882
3	13 -18	15,5	15	240,25	232,5	3603,75
4	18 -23	20,5	40	420,25	820	16810
5	23 -28	25,5	16	650,25	480	10404
6	28 -33	30,5	8	777,25	244	7442
7	33 -38	35,5	7	1260,25	248,5	8821,75
∑			100		2070	48145

Находим: .

3. По виду гистограммы (рис.6) можно предположить, что исследуемый признак подчиняются нормальному закону распределения.

Найдем теоретические частоты по формуле (3) при n=100; =20,7; S=7,31:

.

Расчёты для нахождения критерия приведёны в таблице 7.

Таблица 7

i
1		- 8		6		4,09		0,89
2		8 - 13		8		10,60		0,64
3	13 - 18		15		20,88		1,66
4	18 - 23		40		26,60		6,75
5	23 - 28		16		21,96		1,62
6	28 - 33		8		11,22		0,92
7	33 -		7		4,65		1,19
∑			100				=13,67

4. Число интервалов равно 7. Проверку гипотезы о нормальном распределении проводим при уровне значимости = 0,05 и числе степеней свободы, равном Из таблицы ( приложение 5) находим .

В нашем примере , т.е. > . Следовательно, опытные данные не согласуются с нормальным законом распределения и гипотеза о нормальном распределении отвергается.

2.3.2 Проверка гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности.

Задано эмпирическое распределение непрерывной случайной величины X в виде последовательности интервалов ( ) и соответствующих им частот , причем (объем выборки). Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что случайная величина X имеет показательное распределение.

Для того чтобы при уровне значимости α проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, надо:

1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю , приняв в качестве «представителя» i-го интервала его середину .

2. Принять в качестве оценки параметра λ показательного распределения величину, обратную выборочной средней: .

4. Вычислить теоретические частоты по формуле (5).

5. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы , где – число интервалов выборки c учетом объединения малочисленных частот.

Пример 3. В результате испытания 200 элементов на длительность работы в часах получено эмпирическое распределение, приведенное в таблице 8. Во второй строке таблицы указаны интервалы времени в часах, в третьей – частоты, т.е. количество элементов, проработавших время в пределах соответствующего интервала.

Таблица 8

i	1	2	3	4	5	6
	0-5	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30
	133	45	15	4	2	1

Решение.

1. Построим гистограмму частот (рис.7).

Рис. 7

Предполагаемое распределение – показательное.

2. Найдем среднее время работы для всех элементов (в качестве среднего времени работы одного элемента примем середину интервала, которому принадлежит элемент):

3. Найдем оценку параметра предполагаемого показательного распределения:

Таким образом, плотность предполагаемого показательного распределения имеет вид .

4. Найдем вероятности попадания случайной величины X в каждый из интервалов по формуле :

5. Найдем теоретические частоты по формуле (5): _, где - вероятность попадания случайной величины X в i-ый интервал. Получаем:

6. Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Составим расчетную таблицу 9. Для упрощения вычислений объединим интервалы 4, 5, и 6 малочисленных частот в один интервал, получим интервал (15;30).

Объединим также малочисленные частоты (4+2+1=7) и соответствующие им теоретические частоты (6,30+2,32+0,84=9,46).

Таблица 9

1	133	126,42	6,58	43,2964	0,3425
2	45	46,52	-1,52	2,3104	0,0497
3	15	17,10	-2,10	4,4100	0,2579
4	7	9,46	-2,46	6,0516	0,6397
Σ

Из таблицы критических точек распределения χ², по уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы находим =6,0.

Так как < , то нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении X по показательному закону. Другими словами, данные наблюдений согласуются с этой гипотезой.