Эмпирическая функция распределения (статистическая функция)

Мы знаем, что все важнейшие характеристики случайной величины (мат.ожидание и т.п.) могут быть получены из распределения. В задачах математической статистики функция распределения (теоретическая) всегда является неизвестной. Замечательно то, что основываясь на выборке, можно построить хорошее приближение для неизвестной функции распределения. Эмпирическую функцию распределения выборки строят так:

,

где - число тех значений выборки, которые меньше x.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки, интегральную функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различия между и состоит в том, что - вероятность события , а - относительная частота события.

Мы знаем, что . Значит, можно использовать эмпирические функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности.

У эмп. функции свойства такие же, как у функции :

1. . Т.к. вероятность всегда меньше 1 и больше 0.

2. - неубывающая функция, т.е. , если .

Пример:

xi	2	6	10
ni	12	18	30

Объем выборки n=12+18+30=60.

Если , то .

Если , то .

Если , то .

Если , то .

График этой функции

Статистические оценки параметров распределения.

При обработке опытных данных вид закона распределения часто заранее известен, а требуется найти некоторые параметры, от которых он зависит. Например, если закон распределения нормальный, то необходимо оценить два параметра: математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. Если закон распределения показательный, то необходимо оценить .

Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные выборки .

Для оценки математического ожидания нормального распределения используют среднее арифметическое наблюдаемых значений.

Определение: Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности

,

где - частоты, .

Ясно, что .

Определение: Выборочной средней называют среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности

,

где - частоты, .

Замечание: Выборочная средняя будет изменятся от выборки к выборки. Т.е. выборочную среднюю можно рассматривать как случайную величину, а значит можно говорить о распределениях (теоретическом и эмпирическом) выборочной средней и о числовых характеристиках этого распределения. В частности о мат.ожидании и дисперсии.

Ясно, что мат.ожидание есть , т.е. .

Определение: Генеральной дисперсией называют

.

- генеральное среднее квадратическое отклонение.

Пример: Задана генеральная совокупность

xi	2	4	5	6
ni	8	9	10	3

,

.

Определение: Выборочной дисперсией называют

.

- выборочное среднее квадратическое отклонение.

Пусть из генеральной совокупности извлечена повторная выборка объема n.

-значение признака

- частоты,

причем .

Требуется по данным выборки оценить неизвестную дисперсию .

Если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то эта оценка будет давать заниженное значение генеральной дисперсии, т.к. , а хотелось бы, чтобы .

Легко исправить выборочную дисперсию:

- исправленная дисперсия,

Тогда

.

Для оценки же среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют “исправленное” среднее квадратическое отклонение:

.

Замечание: Сравнивая формулы и видим, что они отличаются лишь знаменателями. Очевидно, что при больших n и отличаются мало. На практике используют исправленную дисперсию, если n<30.