4Визначення необхідної глибини перемежування

Для визначення глибини перемежування λ скористаємось наступними міркуваннями. Врахуємо те, що:

1. При перемежуванні такої глибини довжина n кожного із базових кодових слів при використанні узагальненого кодового слова довжиною в N символів не буде перевищувати величини

n = N/λ.

2. Для кожного із БКС вираз (1)

М_сп = МР_сп, (1)

перетвориться на:

n_сп = nР_сп,

звідкіля із вимоги, що ця кількість спотворень не повинна перевищувати можливості коду із виявлення спотворень : n_сп ≤ , неважко визначити допустиме значення довжини БКС n:

n = [ /Р_сп],

де позначка [х] означає обчислення цілої частини від х.

3. Визначення допустимих параметрів базового кодового слова. Знаючи довжину базового кодового слова n, для кожного завадостійкого коду неважко визначити потрібку кількість надлишкових символів k (або використати його задане властивостями коду значення) і визначити, таким чином, усі допустимі параметри базового кодового слова чи завадостійкого коду, тобто величини n, m, k. Наприклад, для циклічного коду значення k дорівнює ступеню полінома, для коду Хеммінга та т. інш.

4. Визначення глибини перемежування. Для цього врахуємо, що глибина перемежування λ повинна бути такою, що, в наслідок формування λ базових слів, в кожному із них могло б виникнути така кількість спотворень, яка не перевищує можливостей коду щодо їх виявлення, тобто

,

де, в чисельнику величина – загальна довжина повідомлення із довжиною суто інформаційної частини М та кількістю надлишкових символів за рахунок збільшення кожного із λ базових кодових слів на k надлишкових символи. Тоді вираз в чисельнику означає кількість можливих спотворень в усьому інформаційному повідомленні після розбиття на λ базових кодових слів і застосування до кожного із них заданого чи обраного коду із кількістю надлишкових символів k.

Із останнього виразу неважко отримати

. (2)

В разі застосування кодів для виявлення чи для виявлення та виправлення поодиноких спотворень (коди Хеммінга, з контролем на парність та їм подібні) величину слід приймати такою, що = 1.

В разі ж застосування кодів для виявлення та виправлення групових спотворень величину слід визначати, виходячи із властивостей коду. Наприклад, для циклічного коду, в якому = k

За рахунок перемежування можна виявляти (та для певного класу кодів − виправляти) групи (пакети) спотворень довжиною в (λ  1) символ (біт).

5Виграш від кодування

Звичайно якість передачі цифрової інформації по каналам зв’язку визначається ймовірністю спотворення символу, яка, як уже згадувалось, є наслідком природних впливів в каналах ТКМ із-за зменшення співвідношення енергетик сигнал/ шум (сигнал/ завада) в місці (точці приймання) сигналу. Це співвідношення визначає вірність інформації, визначену, наприклад, через ймовірність спотворень інформаційних символів Р_сп чи через цілісність (вірність) інформації Р_п. Нагадаємо, що для підвищення цілісності (вірності) інформації необхідно підвищувати співвідношення сигнал/шум (сигнал/завада) шляхом підвищення потужності переданих сигналів або зниження рівня шумів (завад) в каналах зв’язку.

Використання завадостійкого кодування дозволяє досягнути тих же цілей  підвищення цілісності інформації, не змінюючи співвідношення сигнал/шум (сигнал/завада) в місці (точці приймання) сигналу. Другими словами використання завадостійкого кодування дозволяє досягнути енергетичного виграшу в телекомунікаційних системах.

Відомо, що якість завадостійкого кодування можна оцінювати при цьому асимптотичним виграшем, який залежить від відносної швидкості коду R і здатності коду щодо виявлення спотворень, яка визначається величиною t – кратністю спотворень. Наприклад, для найбільш розповсюдженого випадку фазової модуляції ймовірність спотворень символів

Р_сп ≈ {Q[2Rh²]^1/2}^t+1, (4)

де: h² = Е_с/Е_з = Р_с/Р_з – співвідношення сигнал/завада в точці приймання, Е_с (Е_з) енергія сигналу (завади), Е_с = τ_сР_с, τ_с тривалість сигналу, Р_с (Р_з) потужність сигналу (завади),

Q[α] = 1/[(2π)^1/2] exp( x²/2) dx.

При передачі без кодування (R = 1, t = 0)

Р^/_сп ≈ {Q[2(h^/)²]^1/2}. (5)

З врахуванням того, що при достатньо великих співвідношеннях сигнал/завада (не менше 3) величина Q[α] апроксимується як Q[α] ≈ exp(α²/2) із (4) і (5) найдемо енергію сигналу, необхідну для досягнення однієї і тієї ж ймовірності спотворення. З цією метою прирівняємо праві частини цих виразів:

{Q[2Rh²]^1/2}^t+1 = {Q[2(h^/)²]^1/2},

{exp ([(Rh)^1/2]²)} ^(t+1) = exp ((h^/)²).

Звідкіля після логарифмування отримаємо

g = (h^/)² / h² = R(t+1).

Таким чином, асимптотичний виграш від кодування дорівнює g або в децибелах

G = 10 lg [R(t+1)].