12. Занг

Подібно економічним явищам, сама економічна теорія також нестійка в своєму процесі розвитку. Синергетична економіка зупиняється на чітких послідовних стадіях еволюції економічного аналізу. У своїх «Основах економічного аналізу» Пауль А. Самуельсон поділяє розвиток аналітичної економіки на п'ять великих ступенів. По-перше, у Вальраса ми маємо кульмінацію опису детермінованих рівноваг на статичному рівні. Парето та іншими зроблений другий крок, який лежить в основі теорії порівняльної статики. Третій крок, який охарактеризував мінімізацію дій в рамках економічної одиниці, був зроблений Джонсоном, Слуцьким, Хіксом, Аленом та іншими економістами. Четверте досягнення являє собою відкриття принципу відповідності. «Природним П'ятим кроком, який слід зробити після того, як ми досліджували відгук системи на зміну заданих параметрів, полягає в тому, щоб дослідити поведінку системи як функцію часу». Далі Самуельсон підкреслює, що «користь будь-якої теоретичної побудови укладена в тому світлі, яке вона проливає на хід змін економічних даних - самих величин, або параметрів, від яких вони залежать. Це загальне положення справедливо як у сфері динаміки, так і статики. Таким чином, наступний логічний крок - приступити до створення теорії порівняльної динаміки. Ця теорія повинна включати в себе теорію порівняльної статики і кожну з попередніх п'яти частин як окремі випадки, і в той же час бути значно ширше». Очевидно, що цей п'ятий крок знайшов відображення в книзі Занга. Цей крок зроблений через такий довгий час, тому що тільки зараз математика забезпечила нас потужними аналітичними методами, які необхідні для розуміння суті динамічної поведінки - адже в основі будь-якого наукового відкриття завжди лежить сконцентроване знання, на яке спирається робота. Навіть малий чоловік, якщо він стоїть на плечах гігантів, бачить далі них.

Занг показав, що економічні системи можуть проходити через ієрархію нестійкостей, в яких розвиваються все більш і більш складні структури. Такі нестійкості викликані зміною зовнішніх параметрів і можуть привести до нової просторово-часової організації системи. Щоб показати, як може проявлятися така поведінка, було приведено кілька очевидних прикладів і представлені різні аналітичні методи, які допомагають впоратися з подібними завданнями. Зокрема, автор торкнувся раптових (структурних) змін, існування граничних циклів і хаосу, ролі стохастичних процесів в економічній еволюції, ефектів тимчасових масштабів і швидкостей встановлення рівноваги в економічному аналізі.

Існування економічного хаосу грає важливу роль в економічному прогнозуванні, методології і так далі. Слід зауважити, що відкриття хаосу засноване на більш фундаментальних і перевіряються концепціях. Ці концепції не впираються в хаос. Хаос відбувається з порядку і деяких, цілком раціональних, механізмів. Хаос – явище, що спостерігається, не представляє собою який-небудь певний механізм. Тобто фундаментальний механізм, який генерує хаос, повністю не випадковий за своєю природою.

За своїм змістом хаос не є абсолютно негативним станом. Це не лише руйнування існуючого порядку. Хаос потенційно позитивний. Він дає нам надію на майбутнє, що складається в тому, що з кризи нашого часу може виникнути щось, що можна було б назвати «великою точкою повороту», або новий, більш позитивний напрямок економічної еволюції. І хоча існування економічного хаосу, означає обмеження можливостей економічного прогнозування внаслідок хаотичних або складних перехідних станів, це відкриття відкриває нові можливості для поліпшення якості прогнозування в рамках знайдених обмежень, ідентифікуючи ознаки, які віщують як насувається хаос, так і потенційний порядок, що виникає з нього. Ця об’ємна теорія пропонує шлях, на якому можна полегшити вирішення реальних проблем, щоб створити більш ефективні «Системи раннього попередження» про небезпеку. Показано також, що з філософської точки зору людська природа складається всього лише з декількох базових аспектів: тяги до знань, егоїзму, альтруїзму, любові і так далі. Саме комбінації цих аспектів під впливом різних середовищ формують складний економічний поведінку.

Представлене тут дослідження - лише початок синергетичної економіки. Слідуючи цим шляхом, ми стикаємося з усе більш складними аналітичними проблемами. Синергетичні економічні системи описуються нестійкими нелінійними динамічними рівняннями високої розмірності з різними швидкостями встановлення, і ми не можемо сподіватися на повне розуміння поведінки таких систем, якщо використовуємо тільки аналітичні методи. Для авторитетного підтвердження труднощів задач, що постають при цьому, процитуємо В. І. Арнольда (1983), який пише, що «Завдання динаміки, що не інтегруються, не піддаються апарату сучасної математики». У нашій книзі Занга було запропоновано і досліджено багато ідей. Адже «нові ідеї, якщо їх ретельно не опрацьовувати, вперто не захищати і не «пробивати», просто нікому ні про що не скажуть » (Шумпетер, 1934).

13. BDS-тест

При моделюванні часових рядів за допомогою класичних стохастичних методів вчені досить часто стикались із проблемою наявності в них нелінійних залежностей, які спостерігались навіть у залишках після застосування моделей. Ця проблема вилилась у 90-их роках у розробку цілої системи тестів на перевірку нелінійності у часових рядах.

Найкраще зарекомендував себе для виявлення нелінійних залежностей як хаотичної, так і стохастичної природи, тест, запропонований у 1991 Броком, Дечертом та Шейкерманом (BDS-тест). Цей тест перевіряє нульову гіпотезу про те, що процес формують незалежні, однаково розподілені випадкові величини на противагу припущенню про нелінійність процесу. Хоча він часто розглядається як тест на нелінійність, BDS статистика може застосуватись для виявлення будь-яких відхилень від незалежності, у тому числі й тих, що зумовлені нелінійними залежностями.

Нехай кореляційний інтеграл (заданий рівнянням (1), є мірою частки пар точок ряду, які знаходяться на відстані одна від іншої:

, (1) , де - норма супренума;

;

n – кількість спостережень;

m – розмірність простору вкладення.

Для даних, що є результатом регулярного стаціонарного стохастичного процесу, рівняння (1) може бути переписане так:

. (2)

Брок, Дечерт, Шейкерман та ЛеБарон довели, що для однаково розподілених незалежних величин виконується умова:

.

З урахуванням цього BDS-статистика задається як

і асимптотично наближається до стандартного нормального розподілу. Хсех та Ле Барон показали, що тест можна застосовувати за умови, що довжина ряду перевищує 500 спостережень. Очевидно, що значення BDS-статистики значною мірою залежить від вибору значень та . Із збільшенням просторова кореляція між точками буде зростати. А із збільшенням розмірності простору вкладення зменшиться кількість пар точок, і, як наслідок, значення BDS-статистики зростатиме.