1.4. Основные числовые характеристики случайных величин
Закон распределения является полной, исчерпывающей характеристикой распределения вероятностей случайной величины. Однако при решении многих практических задач используются числовые характеристики, позволяющие представить основные свойства распределения в более компактном виде, что является часто достаточным и более удобным.
Числовой характеристикой случайной величины называется такая характеристика, которая позволяет в сжатой форме выразить наиболее существенные черты её распределения. К основным числовым характеристикам относятся математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
Математическим ожиданием (генеральным средним) случайной величины X называется её среднее значение, найденное с учётом вероятности каждого значения и определяемое по формулам:
MX
=
–
для дискретных случайных величин;
(1.4.1)
– для непрерывных случайных величин.
(1.4.2)
Математическое ожидание обладает следующими свойствами:
1. Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной:
МС = С ,
где МС – математическое ожидание постоянной;
С – постоянная величина.
2. Постоянный множитель можно выносить
за знак математического ожидания:
M
(CX)
=
.
3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M (X+Y) = MX + MY.
4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
.
Математическое ожидание является
числовой характеристикой, определяющей
положение случайной величины на числовой
оси, задающей центр группирования её
значений. На практике в качестве
характеристик положения используются
также мода
и медиана
.
Модой теоретического распределения дискретной случайной величины Х называется её наиболее вероятное значение.
Модой непрерывного
распределения называется значение
случайной величины
,
при котором функция плотности достигает
максимума.
Медиана – это такое значение
случайной величины Х,
для которого одинаково вероятно, окажется
ли случайная величина меньше или больше
,
т.е. P(X<
M
)
= P(X
> М
)
= 0,5.
Для описания распределения непрерывных случайных величин используются также квантили.
Квантилем, отвечающим заданному
уровню вероятности Р,
называют такое значение
,
при котором функция раcпределения
принимает значение, равное
,
т.е. F(x
)
=
.
Квантиль, отвечающий значению вероятности р = 0,5, является медианой. Квантили, отвечающие р = 0,25 и р = 0,75, называются соответственно нижним и верхним квартилями.
Дисперсией случайной величины
X
называется математическое ожидание
квадрата отклонения значения случайной
величины от её математического ожидания
DX
= M(X
– MX)
.
(1.4.3)
Дисперсия является характеристикой рассеивания, разброса значений случайной величины относительно математического ожидания и вычисляется по формулам:
DX
=
– для дискретных
случайных величин, (1.4.4)
где
-
значение случайной величины
;
- математическое ожидание случайной
величины
;
- число возможных значений случайной величины ;
-
вероятность появления значения
случайной величины
.
–
для непрерывных случайных величин,
(1.4.5)
где
- плотность распределения случайной
величины
.
Дисперсию удобно вычислять с помощью рабочей формулы:
,
(1.4.6)
получаемой следующим образом:
Дисперсия обладает следующими основными свойствами:
Дисперсия постоянной величины равна нулю:
DC = 0,
где C – постоянная величина.
2. Постоянный множитель можно выносить
за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
D(CX
) = C
DX.
3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D (X + Y ) = DX + DY.
4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D (X – Y) = DX + DY.
Средним квадратическим
отклонением случайной величины
X
называется арифметический корень
квадратный из дисперсии
.
Последняя характеристика, в отличие от дисперсии, имеет размерность, совпадающую с размерностью самой случайной величины, что является очень удобным в практических приложениях.