3. Моделирование нормального распределения
Будем
обозначать через
-
случайную величину, распределенную по
нормальному закону с плотностью
Если
а=0,
=1,
то говорят о стандартной нормальной
случайной величине, которую обозначим
N. Связь между
и N простая:
=a+ N
Поэтому достаточно имитировать N. Разработаны многочисленные способы имитации этой величины. Рассмотрим некоторые из них.
Метод полярных координат.
Утверждение.
Пусть Х и У независимые случайные
величины со стандартным нормальным
распределением. Рассмотрим случайную
точку на плоскости - (Х,У) и ее полярные
координаты
и
:
(9.1)
Тогда и будут независимыми случайными величинами, распределенными по следующим законам:
имеет функцию распределения
распределена равномерно на [0,2 ].
Наоборот, если и имеют указанные распределения и независимы, то величины Х и У, вычисленные по формулам (9.1), независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Доказательство очевидно из следующих преобразований:
=
=
=
=
И обратно
=
=
=
=
Рассмотрим способ имитации. Используя метод обратной функции, получим
Откуда
Полярный
угол
получается по формуле
.
Окончательно алгоритм имитации будет
следующий
от ДСЧ получаем
и
.
вычисляем сразу пару значений N :
,
.
Приведенный метод имитации N является точным, легко программируется и точно работает. Известен как метод Бокса и Маллера.
Известна
модификация этого метода, дающая точные
результаты быстрее. По этому методу
генерируются два случайных числа
и
.
Далее полагая
и
,
вычисляют
.
При
начинают цикл снова. При S<1
вычисляют
Метод, основанный на центральной предельной теореме.
Центральная
предельная теорема утверждает: пусть
последовательность независимых одинаково
распределенных случайных величин с
М[Х]=а и D[Х]=
.
Обозначим
.
Тогда
стремится по вероятности к N - стандартной нормальной случайной величине.
От
датчика случайных чисел мы получаем
.
При этом М[U]=1/2 и D[U]=1/12. Поэтому, в качестве
величины близкой к нормальной можно
принять
Удобно взять n = 12. Тогда получается такой способ имитации:
от датчика ДСЧ берется 12 значений
;вычисляем N =
- 6.
Однако такой способ имеет недостатки: требует много случайных чисел и погрешность передачи нормального закона увеличивается при увеличении отклонения случайной величины от своего математического ожидания. Для уточнения этого способа приближение пересчитывают по формуле
.
Величина
значительно лучше передает закон
распределения - N.
4. Обобщенное распределение Эрланга
Обычно распределение Эрланга используется в случаях, когда длительность какого-либо процесса можно представить как сумму к элементарных последовательных составляющих, распределенных по экспоненциальному закону. Если обозначить математическое ожидание длительности всего процесса как M[t]=1/ , среднюю длительность элементарной составляющей как 1/ , то плотность вероятностей распределения Эрланга представляется следующей формулой:
Дисперсия
такого распределения D[t]=
Очевидно, что при к=1 - это экспоненциальное распределение. Разновидности этого распределения для разных к>0 представлены на рис. 9.4. Предположим, что в распределении Эрланга имеется не строго фиксированное число экспоненциально распределенных отрезков к, а переменное, с вероятными изменениями в пределах одного интервала. Тогда можно говорить лишь о средней величине s таких отрезков, где s - число с плавающей точкой. После такого перехода от дискретных к непрерывным величинам появляется возможность работы и со значениями в пределах 0<s<1.
Рис. 1.5. Вид распределения Эрланга при различных значениях к:
1 - экспоненциальное; 2,3 - распределения второго и третьего порядков
Рассмотрим программную функцию, реализующую такое распределение
f l o a t erlang{float m, float s)
{
f l o a t a, b;
i n t i, k;
a = 0.0;
к = Sjto
= S - k;
for( i=0;i<k;i++ )
a += expont(m);
if ( rundumO < b )
a += expont(m);
return(a);
}
Эта функция имеет два входных параметра:
• m - математическое ожидание элементарного интервала времени, причем m=1/ k,
• s - среднее число элементарных отрезков в общей длительности процесса.
Видно, что при
значениях s
1
(в том числе целых) получаем обычное
распределение Эрланга с параметрами:
M[t\ =
ms = 1/
и D[t] – m2s=
.
Однако при
0<s<0 это распределение меняется
коренным образом: фактически мы получаем
процесс испытаний Бернулли. В результате
этих испытаний «успехом» считается
получение элементарного отрезка,
распределенного по экспоненциальному
закону с математическим ожиданием m
(вероятность успеха равна s), а неудачей
с вероятностью 1- s является получение
элементарного отрезка с нулевой длиной.
Если по такому правилу будет работать
какой-то генератор заявок, то он будет
создавать группы заявок. Причем средний
размер группы будет равен n
= 1/s , а средний интервал времени между
двумя последовательными группами равен
m.
Математическое ожидание интервала между двумя последовательными заявками и в этом случае определяется выражением M[t] = ms = 1/ . Что касается дисперсии, то она существенно меняется и определяется по формуле:
Одно из свойств групповых потоков заключается в том, что среднеквадратичное отклонение интервала между заявками превосходит математическое ожидание этого интервала.
Если имеется возможность собрать статистику по групповому потоку на практике или получить такой поток с помощью рассмотренной выше программной функции, то можно определить коэффициент вариации с и связь этого коэффициента со средним размером группы заявок по формуле
Это соотношение позволяет отслеживать появление групповых потоков в реальных системах или в их имитационных моделях.
Обобщенное распределение Эрланга применяется при создании как чисто математических, так и имитационных моделей в двух случаях. Во-первых, его удобно применять вместо нормального распределения, если модель можно свести к чисто математической задаче, применяя аппарат марковских или полумарковских процессов либо используя метод Кендалла. Однако такие модели далеко не всегда адекватны реальным процессам. Во-вторых, в реальной жизни существует объективная вероятность возникновения групп заявок в качестве реакции на какие-то действия, поэтому возникают групповые потоки. Применение чисто математических методов для исследования в моделях эффектов от таких групповых потоков либо невозможно из-за отсутствия способа получения аналитического выражения, либо затруднено, так как аналитические выражения содержат большую систематическую погрешность из-за многочисленных допущений, благодаря которым исследователь смог получить эти выражения. Для описания одной из разновидностей группового потока можно применить обобщенное распределение Эрланга, которое рассмотрим ниже. Внешне похожее на гамма-распределение, оно имеет свои математические особенности.
Появление групповых потоков в сложных экономических системах приводит к резкому увеличению средних длительностей различных задержек (заказов в очередях, задержек платежей и др.), а также к увеличению вероятностей рисковых событий или страховых случаев.