4. Теоретическая информация

Экономический процесс можно описать системой показателей. Эти показатели можно считать экономическими переменными признаками этого процесса.

Фактически большинство экономических процессов можно считать стохастическими. В этом случае связь между отдельными показателями проявляется в общем, среднем при большом числе наблюдений и не в каждом отдельном случае. Изменение одного показателя (фактора) ведет к изменению математического ожидания другого показателя.

Стохастические взаимосвязи показателей можно описать с помощью корреляционных характеристик.

Оценка тесноты связи между факторным и

результативным показателями на основе корреляционного анализа

Теснота связи между показателями количественно оценивается коэффициентом корреляции r_xy. Для парной линейной связи показателей он рассчитывается по формуле:

, (4.1)

где n – число наблюдений;

x_i, y_i – наблюдения значения показателей (фактические значения);

, - средние значения для выборки;

r_xy. – находится в пределах от -1 до +1 (-1<r_xy.<1).

Проверка значимости r_xy.

Коэффициент корреляции, рассчитанный на основе выборочных значений показателей x, y является случайной величиной для генеральной совокупности признаков.

Необходимо убедиться, что рассчитанное значение значимо (существенно) для всей генеральной совокупности признаков (x,y).

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе t-критерия Стьюдента путем сопоставления расчетного и табличного значений.

Расчетное значение статистики t:

(4.2)

Табличное значение статистики t_ берется из таблицы (приложение 2) в зависимости от  и числа степеней свободы .

=n-2 - для линейной связи.

t_ - устанавливает границы, в пределах которых может появляться t с вероятностью :

, где  - невероятность появления t.

Значением  задаются в пределах 0,05; 0,01; 0,005.

В результате расчетов:

1) если t_р>t_, то для всей генеральной совокупности признаков,

r_xy – существенен, значим;

2) если t_р<t_, то r_xy – несущественен для генеральной совокупности признаков

Для статистически значимого линейного коэффициента корреляции можно построить интервальные оценки с помощью z-распределения Фишера:

.

Первоначально определяется интервальная оценка для z по выражению

, (4.3)

t_ - табулированные значения для нормального распределения (приложение 3), зависимые от ; Z’ – табличные значения z–распределения (приложение 4).

Исследование формы связи показателей

Форма связи (уравнение регрессии) исследуется регрессионным анализом.

Уравнение регрессии – это формула статистической связи между переменными. Уравнение линейной регрессии – уравнение прямой вида y=a+bx.

Необходимо определить параметры a и b той прямой, которая является ближайшей к точкам наблюдения. Параметры a и b определяются из системы двух уравнений, полученных методом наименьших квадратов:

(4.4)

где n - объем исследуемой совокупности (число наблюдений);

a, b – неизвестные параметры уравнения регрессии.

Полученные значения a и b – это выборочные параметры уравнения регрессии.

Оценка качества линейной регрессии

Для оценки качества описания зависимости показателя y от х с помощью уравнения линейной регрессии используется коэффициент детерминации B:

, (4.5)

где - значения результативного показателя, рассчитанные по уравнению линейной регрессии.

Чем теснее наблюдаемые точки примыкают к линии регрессии (в контрольнойработе – прямая), тем лучше регрессия описывает зависимость y от х.

0  B 1

Если коэффициент В близок к единице, то регрессия определена верно и хорошо описывает соответствующую зависимость переменных.

Временной ряд

Временной ряд – это ряд наблюдений за значением некоторых показателей, упорядоченных в хронологической последовательности.

Отдельные наблюдения временного ряда называются уравнениями этого ряда.

Каждый уровень динамического ряда связан с соответствующим моментом времени или временным интервалом.

Анализ тенденции развития показателя. Тренд.

Задача этого анализа – выявление основной тенденции развития и измерение отклонений от нее.

Тенденция развития – это общее направление развития.

Тенденцию стремятся представить в виде более или менее гладкой кривой, соответствующей функции времени. Аналитическое выражение тенденции развития называется трендом.

Наиболее распространенным и простым путем выявления тенденции развития является сглаживание временного ряда.

Различные приемы сглаживания позволяют заменить фактические уровни ряда расчетными, имеющими значительно меньшую колеблемость, чем исходные.

Метод аналитического сглаживания

При этом методе подбирается уравнение тренда в следующей последовательности:

1. предполагается несколько уравнений тренда;

2. для каждого предполагаемого уравнения рассчитываются параметры;

3. рассчитывается показатель рассеивания Q;

4. выбирается уравнение тренда.

В качестве уравнения тренда могут быть уравнения следующих кривых:

1) прямой ;

2) параболы ;

3) показательной кривой

Расчет параметров уравнений

Параметры a, b, c этих кривых рассчитываются из соответствующих систем уравнений, полученных методом наименьших квадратов.

Для линейной функции вида х=a+bt:

(4.6)

Для показательной функции вида x=ab^t:

(4.7)

Для квадратичной параболы вида х=a+bt+сt²:

(4.8)

Расчет показателя рассеивания Q

Показатель рассеивания равен сумме квадратов отклонений фактических точек x_i от расчетных .

- рассчитывается по предполагаемому уравнению тренда для всех наблюдаемых периодов

(4.9)

Для каждой предполагаемой кривой рассчитывается показатель рассеивания.

Выбор уравнения тренда

В качестве уравнения тренда выбирается та кривая, показатель рассеивания которой наименьший Q_min.

Прогнозирование

Прогноз – это научно обоснованное вероятностное суждение о возможных состояниях объекта (процесса) или является в определенный момент в будущем, об альтернативных путях и сроках его осуществления.

При организации экономического прогнозирования необходимо определить позицию по двум вопросам:

1) Выделить факторы, которые оказывают решающее воздействие на показатель исследуемого экономического процесса.

2) Выбрать приемы, способы, методы прогнозирования.

В практике прогнозирования наибольшее распространение получили статистические методы прогнозирования:

1) экстраполяция тренда;

2) корреляционно-регрессионный метод;

3) прогнозирование по средней.

1) Метод экстраполяции тренда

Прогнозное значение показателя y^пр рассчитывается подстановкой в уравнение тренда номера периода t_i соответствующего периода упреждения

2) Корреляционно-регрессионный метод.

Прогнозное значение показателя y^пр рассчитывается подстановкой прогнозного значения фактора х^пр в уравнение регрессии.

3) Прогнозирование по средней

Прогнозное значение показателей (х^пр, y^пр) приравнивается среднему значению динамического ряда показателя

; ;

; ;

n – число наблюдений или число членов динамического ряда.

Методы прогнозирования позволяют получить точечный прогноз показателей х^пр, y^пр. Точечные значения могут значительно отличаться от истинного значения, так как параметры уравнений расчета определяются на основе ограниченной выборки наблюдений показателя.

Прогнозные значения показателей должны быть представлены с определенной надежностью.

Надежность оценивается вероятностью  попадания фактических значений показателя в будущем в доверительный интервал прогноза. В будущем (в прогнозируемом периоде t_i) фактические значения показателя окажутся в доверительном интервале  с вероятностью . Интервальная оценка прогнозируемого показателя

. (4.10)

Расчет доверительного интервала

Размер доверительного интервала  определяется заданной надежностью прогноза. Мерой надежности является вероятность , которая принимается. Рекомендуемые значения: =1-; = 0,0010,05

 - вероятность события,  - невероятность события.

Доверительный интервал  рассчитывается по формуле

(4.11)

где t_ - статистика Стьюдента. Определяется по таблице (см. приложение 2); S_p - суммарная дисперсия.

Для линейной регрессии:

. (4.12)

где x^пр - прогнозное значение факторного признака, - среднее значение факторного признака, х_i – наблюдаемые значения фактора.

S - дисперсия относительно линии регрессии

, (4.13)

где y_i – фактические уровни динамического ряда; - расчетные значения уровней динамического ряда по уравнению линейной регрессии; n – число членов выборки.

При прогнозировании методом экстраполяции тренда S_p рассчитывается по следующей формуле:

а) для линейного тренда: ,

t^пр – номер периода прогнозирования;t_i – номер периода наблюдения;

б) для криволинейного тренда: ; ,

где S – дисперсия относительно линии тренда.