7. Дисперсія випадкового процесу.

Дисперсія випадкового процесу – це невипадкова функція, значення якої при кожному фіксованому аргументу t = дисперсії перерізу випадкового процесу

7. Властивості дисперсії випадкового процесу.

Використовуючи властивості дисперсії випадкової величини, мож- на отримати властивості дисперсії випадкової функції:

• дисперсія невипадкової функції ϕ (t) дорівнює нулю:

D(ϕ(t ))= 0;

• дисперсія суми випадкової функції X (t) і невипадкової функції ϕ (t)

дорівнює дисперсії випадкової функції :

D (X( t)) +ϕ (t) = D x (t)

• невипадковий множник ϕ (t) можна виносити за знак дисперсії у квадраті:

D( ϕ(t) X( t) = (t)D x (t)

• якщо при всіх значеннях аргументу t перетини випадкових процесів X (t) і Y(t) є незалежними випадковими величинами, то дисперсія суми цих процесів дорівнює сумі їх дисперсій:

D (X( t) + Y (t)) = D x (t) + D y(t ); При цьому перетини кожного з процесів X (t) та Y(t), чи одного

з них, можуть бути залежними випадковими величинами.

7. Центрована випадкова функція

(t) = X(t) - mx (t) – центрована випадкова функція

13. Кореляційна функція випадкового процесу.

Кореляційною функцією випадкового процесу називається невипадкова функція , яка при кожній парі значень аргументу є кореляційним моментом відповідних перерізів цього процесу,тобто

14. Властивості кореляційної функції випадкового процесу.

1)

2)

3) + ;

4) * ;

5)

15. Нормована кореляційна функція.

– невипадкова ф-ія значення якої при кожній парі фіксованих значень аргументу = коефіцієнту кореляції перерізів, що відповідають тим же фіксованим аргументам.

16.Властивості нормованої кореляційної функції

17.Взаємна кореляційна функція двох випадкових процесів

Нехай є та Взаємною кореляційною ф-ією називається значення якої = кореляційному моменту перерізів обох випадкових процесів, що відповідають фіксованим аргументам

18.Властивості взаємної кореляційної функції двох випадкових процесів

1. 

2. ;

3. ;

4. 

19. Математичне сподівання суми випадкового процесу та випадкової величини.

Математичне сподівання суми випадкового процесу та випадкової величини Y дорівнює сумі їх математичних сподівань.

19. Кореляційна функція суми двох корельованих випадкових процесів.

Кореляційна функція суми двох корельованих випадкових процесів дорівнює сумі кореляційних функцій доданків та їх взаємних кореляційних функцій.

19. Кореляційна функція суми двох некорельованих випадкових процесів.

Кореляційна функція суми двох некорельованих випадкових процесів дорівнює сумі кореляційних функцій доданків.

19. Границя в середньоквадратичному.

Послідовність випадкових величин називається збіжною в середньому квадратичному до випадкової величини X, якщо математичне сподівання квадрата різниці наближається до нуля при

Випадкова величина називається границею в середньому квадратичному послідовності випадкових величин і позначається

19. Похідна випадкового процесу.

Похідною випадкової функції X(t) називається середньоквадратична границя відношення приросту аргумента за умови, що ;

19. Інтеграл випадкового процесу.

Інтегралом від випадкової функції на відрізку [0, t] називають границю середньоквадратичного інтегральної суми при прямуванні до 0 чсткового інтервалу максимальної довжини.

.

25. Математичне сподівання похідної випадкового процесу.

Математичне сподівання похідної випадкового процесу ξ(t) дорівнює похідній від математичного сподівання цього процесу, тобто .

Доведення

.

26. Кореляційна функція похідної випадкового процесу.

Кореляційна функція похідної випадкового процесу ξ(t) дорівнює змішаній частинній похідній другого порядку від її кореляційної функції:

27.Взаємна кореляційна функція випадкового процесу та його похідної.

Взаємна кореляційна функція випадкового процесу ξ(t) та її похідної дорівнює частинній похідній від кореляційної функції за відповідним аргументом:

Доведення.

28. Математичне сподівання .

Математичне сподівання інтеграла випадкової функції ξ(t) дорівнює інтегралу від її математичного сподівання, тобто

Доведення

29. Кореляційна функція .

Кореляційна функція інтеграла від випадкового процесу ξ(t) дорівнює подвійному інтегралу від її кореляційної ф-ції, тобто

Доведення

29. Взаємна кореляційна функція випадкового процесу та

Взаємна кореляційна функція випадкового процесу ξ(t) та інтеграла дорівнює інтегралу від кореляційної ф-ції випадкового процесу ξ(t):

31. Стаціонарно зв’язані випадкові процеси.

Стаціонарно-зв’язаними називаються такі випадкові функції ξ та η, якщо вони є стаціонарні та взаємна кореляційна функція

R_ξη(t₁,t₂)=r_ξη(t₂-t₁)=r_ξη(τ)

31. Стаціонарний випадковий процес у широкому розумінні.

Випадковий процес ξ(t) називається стаціонарним у широкому розумінні, якщо він має стале математичне сподівання, а кореляційна функція залежить від різниці аргументів

K_ξ(t₁,t₂)= K_ξ(t₂- t₁)= K_ξ(τ)

31. Стаціонарний випадковий процес у вузькому розумінні.

Якщо сумісний розподіл величин

ф ξ(t₁+h), ξ(t₂+h),…, ξ(t_n+h), ξ(t₁),…, ξ(t_n) співпадає, то ξ(t) називається стаціонарним у вузькому розумінні.

31. Математичне сподівання стаціонарного випадкового процесу

=const

31. Дисперсія стаціонарного випадкового процесу

= K_ξ(0)

31. Кореляційна функція стаціонарного випадкового процесу.

K_ξ(t₁,t₂)= K_ξ(t₂- t₁)= K_ξ(τ)

37 Властивості кореляційної функції стаціонарної випадкового процесу.

• Є парною функцією

• |K_ξ(τ)|<=K_ξ(0)

38 Нормована кореляційна функція стаціонарного випадкового процесу

Називають невипадкову функцію аргументу .