6.4. Модель поставок со скидкой

Рассмотрим ситуацию, описываемую в целом основной целью, но с одной особенностью, которая состоит в том, что товар можно поставлять по льготной цене (со скидкой), если размер партии достаточно велик. Иными словами, если размер партии q не менее заданного числа q₀, товар поставляется по цене c₀, где c₀<с.

Функция общих издержек С(q) задается в таком случае следующим образом:

Пример 3. Предположим, что интенсивность равномерного спроса составляет 1000 единиц товара в год. Организационные издержки равны 10 УЕ, издержки на хранение – 4 УЕ. Цена единицы товара равна 5 УЕ, однако, если размер партии не менее 500 единиц, цена снижается до 4 УЕ. Найти оптимальный размер партии.

Решение. Здесь

d = 1000, s = 10, h = 4, c = 5, q₀ = 500, c_o = 4.

Общие издержки определяются функцией С(q):

Найдем точку локального минимума. Имеем:

откуда

то

Поскольку

Нетрудно видеть, что функция С(q) в точке q=q₀ разрывна.

Обе функции

и

имеют минимум в точке, где

т.е. в точке

Для выяснения вопроса о том, какой размер партии оптимален, следует сравнить значения функции С(q) в точках q и q₀, и та точка, где функция С(q) принимает меньшее значение, будет оптимальным размером партии q^* в модели поставок со скидкой (см. рис. 4, 5).

В точке q=q₀ получаем

Таким образом,

Рис. 4 Рис.5

Замечание. Может случиться так, что С(q) = С(q₀). Тогда в качестве q^* можно взять любое из чисел q и q₀.

6.5. Задания и ответы

1. Система управления запасами некоторого вида товара подчиняется условиям основной модели. Каждый год с постоянной интенсивностью поступает спрос на 15 тыс. единиц товара, издержки на организацию поставки составляет 10 долл. За одну партию, цена единицы товара – 3 долл., а издержки за ее хранение – 0,75 долл. в год. Найдите оптимальный размер партии.

Ответ: 632.

2. Каковы будут а) продолжительность цикла и б) число поставок за год, если стратегия управления запасами в предыдущей задаче является оптимальной?

Ответ: а) 15 дней; б) 23,7.

3. Система управления запасами описывается моделью производственных поставок и имеет следующие значения параметров. Спрос равен 1,5 тыс. единиц в год, цена 2 долл., издержки хранения единицы товара в течении года – 0,2 долл., организационные издержки – 10 долл. В течении года может быть произведено 4.5 тыс. единиц товара при полной загрузке производственной линии.

Нарисуйте график изменения запасов, вычислите оптимальный размер партии, продолжительность поставки, продолжительность цикла и средний уровень запасов.

Ответ: 474, 38 дней, 116 дней, 158.

4. Интенсивность спроса в модели производственных поставок составляет четверть скорости производства, которая равна 20 тыс. единиц товара в год. Организационные издержки для одной партии равны 150 долл., а издержки хранения единицы товара в течении года – 0,3 долл. Определите оптимальный размер партии.

Ответ: 2582.

5. Мебельной фирме требуется 1000 штук дверных ручек в год, расходуемых с постоянной интенсивностью. Организационные издержки составляют 30 долл. за партию, издержки на хранение одной ручки оценены в 1 долл. Цена дверной ручки составляет 2 долл., а при закупке партиями не менее 750 штук – 1,9 долл. за штуку. Найдите оптимальный размер партии поставок.

Ответ: 245.

6. Торговец имеет стабильный спрос на некоторый товар в количестве 500 единиц в год. Товар он покупает у поставщике по цене 6 долл. за штуку, причем издержки на оформление поставки и другие подготовительные операции составляет в каждом случае 10 долл. Если торговец покупает сразу партию в количестве 150 единиц товара или более,

цена сбавляется до 5 долл. за штуку. Каков оптимальный размер партии, если годовые затраты на хранение единицы товара равны 1 долл.?

Ответ: 150.